AP Physics 1 の練習問題：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が離陸するには 240 km/h の速さが必要で、使える滑走路の長さは 1600 m である。静止状態から出発するとき、必要な一定の加速度 a はいくらか。

v₀ = 0v = 240 km/hs = 1600 m

a = m/s²

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 2 s の間、一定の上向きの加速度 32 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち上げから地面に落ちるまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

a = 32 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

箱が水平な床の上を初速 5 m/s ですべり、4.2 m 進んで止まる。g = 9.81 m/s² とする。動摩擦係数 μ を求めよ。

v₀ = 5 m/sd = 4.2 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 2.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 70° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 22 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 31 m/s、水平から 50° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 18 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 31 m/sθ = 50°h_roof = 18 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

遊園地のローターでは、乗客が半径 2 m の鉛直な円筒の壁に背をつけて立つ。十分速く回転すると床が下がり、摩擦が乗客を支える。静止摩擦係数は 0.4 である。g = 9.81 m/s² とする。最小の角速度 ω を rad/s で求めよ。

r = 2 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.円運動むずかしい

質量 0.4 kg のボールを長さ 1.3 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 8 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.4 kgr = 1.3 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 400 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.05 kg のボールをその上に置き、ばねを 8 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.05 kgk = 400 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1.5 m から静かに放す。下で長さ 1 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 5000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 2.5 kgh = 1.5 mL = 1 mμ = 0.2k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、7 m/s で動く質量 4.5 kg のグライダーが、静止している質量 3 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.4 kg のボールが 22 m/s で壁に当たり、19 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.4 kgv_in = 22 m/sv_out = 19 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

長さ 0.4 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 0.4 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 140 N/m のばねにつけた質量 0.3 kg の物体を、つり合いの位置から 14 cm 引いて静かに放す。振動の全エネルギー E を求めよ。

m = 0.3 kgk = 140 N/mA = 14 cm

E = J

3溶液

1.運動学

答え: a = 1.389 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v = 240/3.6 = 66.67 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 66.67²/(2·1600) = 1.389 m/s²

答え

a = 1.389 m/s²

2.運動学

答え: t = 15.98 s

動力飛行段階

v₁ = 32·2 = 64 m/s

h₁ = ½·32·2² = 64 m

地面までの自由飛行

−h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² を正の解について解きます。

t₂ = (64 + √(64² + 2·9.81·64))/9.81 = 13.98 s

t = 2 + 13.98 = 15.98 s

答え

t = 15.98 s

3.ニュートンの法則

答え: μ = 0.3034

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

a = v₀²/(2d) = 5²/(2·4.2) = 2.976 m/s²

摩擦係数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.976/9.81 = 0.3034

答え

μ = 0.3034

4.ニュートンの法則

答え: T = 21.08 N

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 6.131)/8 = 5.978 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2.5·5.978 + 6.131 = 21.08 N

答え

T = 21.08 N

5.放物運動

答え: H = 21.78 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 70° = 7.524 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 70° = 20.67 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 20.67²/(2·9.81) = 21.78 m

答え

H = 21.78 m

6.放物運動

答え: x = 77.73 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 19.93 m/s, v_y = 23.75 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

18 = 23.75·t − 4.905·t²

t = (23.75 + √(23.75² − 2·9.81·18))/9.81 = 3.901 s

水平距離

x = v_x·t = 19.93·3.901 = 77.73 m

答え

x = 77.73 m

7.円運動

答え: ω = 3.502 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乗客に働く力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.4·2)) = 3.502 rad/s

答え

ω = 3.502 rad/s

8.円運動

答え: T = 23.62 N

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.4·9.81 + 0.4·8²/1.3 = 3.924 + 19.69 = 23.62 N

答え

T = 23.62 N

9.仕事とエネルギー

答え: h = 2.61 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·400·0.08² = 1.28 J

高さ

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 1.28/0.4905 = 2.61 m

答え

h = 2.61 m

10.仕事とエネルギー

答え: x = 11.29 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 24.53·(1.5 − 0.2·1) = 31.88 J

最大縮み

½kx² = 31.88 → x = √(2·31.88/5000) = 0.1129 m = 11.29 cm

答え

x = 11.29 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 8.4 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4.5 − 3)/(4.5 + 3)·7 = 1.4 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 3)·7 = 8.4 m/s

答え

v′₂ = 8.4 m/s

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 328 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.4·(19 + 22) = 16.4 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 16.4/0.05 = 328 N

答え

F_avg = 328 N

13.ばねと振り子

答え: T = 1.269 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(0.4/9.81) = 1.269 s

答え

T = 1.269 s

14.ばねと振り子

答え: E = 1.372 J

角周波数

ω = √(140/0.3) = 21.6 rad/s

エネルギー

E = ½·k·A² = ½·140·0.14² = 1.372 J

答え

E = 1.372 J

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-physics-1-practice