AP Physics 1 の練習問題：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

2演習問題

1.運動学ふつう

120 km/h で走っている車が、一定の減速度 3.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 120 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 15 m の屋上の端から、ボールを 17 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 17 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 5 kg のそりを、水平から 20° 上向きのロープで、30 N の力で水平な雪の上を引く。動摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。そりの加速度 a を求めよ。

m = 5 kgF = 30 Nθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

40° の斜面上にある質量 1 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 9.5 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 1 kgm₂ = 9.5 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 34 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 45 m の崖の上から水平から 45° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 19 m/sθ = 45°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

遊園地のローターでは、乗客が半径 3.6 m の鉛直な円筒の壁に背をつけて立つ。十分速く回転すると床が下がり、摩擦が乗客を支える。静止摩擦係数は 0.5 である。g = 9.81 m/s² とする。最小の角速度 ω を rad/s で求めよ。

r = 3.6 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.円運動むずかしい

長さ 0.7 m の軽い糸につけた質量 1.1 kg の球を鉛直な円を描くように回す。最下点での速さは 10 m/s である。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。最高点での糸の張力 T_top を求めよ。

m = 1.1 kgr = 0.7 mv_bottom = 10 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 2.5 kg のブロックが水平と 25° をなす斜面を 10 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 2.5 kgθ = 25°μ = 0.15d = 10 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックが 35° の斜面の下端で静止しており、斜面に平行な一定の力 70 N で斜面を引き上げられる。動摩擦係数は 0.15 である。ブロックが斜面を 5 m 上がった後の速さ v を求めよ。

m = 5 kgF = 70 Nθ = 35°μ = 0.15d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、12 m/s で動く質量 5 kg のグライダーが、静止している質量 1 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 5 g の弾丸を、長さ 1 m の軽い糸でつり下げた質量 1 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 30° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 5 gM = 1 kgL = 1 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.ばねと振り子ふつう

k = 300 N/m のばねにつけた質量 2 kg のおもりを正の向きに 3 cm 引き、t = 0 に静かに放す。 t = 0.45 s での速度 v を符号をつけて求めよ。

m = 2 kgk = 300 N/mA = 3 cmt = 0.45 s

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

450 m/s で動く質量 15 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 3 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 800 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。

m = 15 gv = 450 m/sM = 3 kgk = 800 N/m

A = cm

3溶液

1.運動学

答え: s = 158.7 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·3.5) = 158.7 m

答え

s = 158.7 m

2.運動学

答え: t = 4.195 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−15 = 17·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 17·t − 15 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (17 + √(17² + 2·9.81·15))/9.81 = 4.195 s

答え

t = 4.195 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.311 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

垂直抗力

N = m·g − F·sin θ = 49.05 − 30·sin 20° = 38.79 N

水平方向の力

m·a = F·cos θ − μ·N = 28.19 − 11.64

a = 16.55/5 = 3.311 m/s²

答え

a = 3.311 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 8.132 m/s²

糸に沿った力

m₂·g = 93.2 N

m₁·g·sin θ = 6.306 N

μ·m₁·g·cos θ = 1.503 N

系の加速度

a = (93.2 − 6.306 − 1.503)/10.5 = 8.132 m/s²

答え

a = 8.132 m/s²

5.放物運動

答え: t = 2.371 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 20° = 31.95 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 20° = 11.63 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·11.63/9.81 = 2.371 s

答え

t = 2.371 s

6.放物運動

答え: x = 63.06 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 45° = 13.44 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 45° = 13.44 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 45 + 13.44·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.44 + √(180.5 + 882.9))/9.81 = 4.694 s

水平距離

x = v_x·t = 13.44·4.694 = 63.06 m

答え

x = 63.06 m

7.円運動

答え: ω = 2.335 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乗客に働く力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.5·3.6)) = 2.335 rad/s

答え

ω = 2.335 rad/s

8.円運動

答え: T_top = 103.2 N

最高点での速さ

高さ 2r の間に運動エネルギーが位置エネルギーに変わります。

v_top² = 10² − 4·9.81·0.7 = 72.53 m²/s²

最高点での力

張力と重力はどちらも下向き、つまり中心に向かっています。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.1·72.53/0.7 − 1.1·9.81 = 103.2 N

答え

T_top = 103.2 N

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 33.34 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.9063 = 22.23 N

F = μN = 0.15·22.23 = 3.334 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 3.334·10 = 33.34 J

答え

W_f = 33.34 J

10.仕事とエネルギー

答え: v = 8.466 m/s

斜面に沿った力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

mg·sin θ = 28.13 N

μ·mg·cos θ = 6.027 N

仕事とエネルギー

½mv² = (70 − 34.16)·5 = 179.2 J

v = √(2·179.2/5) = 8.466 m/s

答え

v = 8.466 m/s

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 20 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (5 − 1)/(5 + 1)·12 = 8 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1)·12 = 20 m/s

答え

v′₂ = 20 m/s

12.運動量と衝突

答え: v = 325.9 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1·(1 − cos 30°) = 0.134 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.134) = 1.621 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 1.005·1.621/0.005 = 325.9 m/s

答え

v = 325.9 m/s

13.ばねと振り子

答え: v = 0.2563 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(300/2) = 12.25 rad/s

ω·t = 12.25·0.45 = 5.511 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.03·12.25·sin(5.511) = 0.2563 m/s

答え

v = 0.2563 m/s

14.ばねと振り子

答え: A = 13.74 cm

衝突後の速さ

V = m·v/(m + M) = 0.015·450/3.015 = 2.239 m/s

角周波数

ω = √(k/(m + M)) = √(800/3.015) = 16.29 rad/s

振幅

A = V/ω = 2.239/16.29 = 0.1374 m = 13.74 cm

答え

A = 13.74 cm

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