AP Physics 1 の練習問題：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

2演習問題

1.運動学ふつう

120 km/h で走っている車が、一定の減速度 6 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 120 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 2 m/s² で 8 s 加速し、次に 13 s 等速で走り、最後に 2 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 8 st₂ = 13 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 40 kg のそりを、水平から 30° 上向きのロープで、140 N の力で水平な雪の上を引く。動摩擦係数は 0.1 である。g = 9.81 m/s² とする。そりの加速度 a を求めよ。

m = 40 kgF = 140 Nθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 8.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2.5 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 60° 上向きに打ち出すと、110 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 60°R = 110 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 40 m の崖の上から水平から 45° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 16 m/sθ = 45°h = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

車が半径 40 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.5、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 40 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

半径 290 m のカーブに 20° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。自動車が外側上方へすべり出さずにカーブを通過できる最高の速さ v_max を求めよ。

r = 290 mθ = 20°μ_s = 0.2g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 2.5 kg のブロックが水平と 45° をなす斜面を 10 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 2.5 kgθ = 45°μ = 0.2d = 10 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 8 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.2）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 3 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 0.5 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m₁ = 8 kgm₂ = 3 kgμ = 0.2d = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、6 m/s で動く質量 1.5 kg のグライダーが、静止している質量 2.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 12 g の弾丸を、長さ 1 m の軽い糸でつり下げた質量 1.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 15° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 12 gM = 1.5 kgL = 1 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 1.9 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 1.9 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 490 N/m のばねにつけた質量 2 kg の物体を、つり合いの位置から 2 cm 引いて静かに放す。最大の加速度 a_max を求めよ。

m = 2 kgk = 490 N/mA = 2 cm

a_max = m/s²

3溶液

1.運動学

答え: t = 5.556 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33.33/6 = 5.556 s

答え

t = 5.556 s

2.運動学

答え: s = 336 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·8 = 16 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·2·8² = 64 m

s₂ = 16·13 = 208 m

s₃ = 16²/(2·2) = 64 m

全距離

s = 64 + 208 + 64 = 336 m

答え

s = 336 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.225 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

垂直抗力

N = m·g − F·sin θ = 392.4 − 140·sin 30° = 322.4 N

水平方向の力

m·a = F·cos θ − μ·N = 121.2 − 32.24

a = 89/40 = 2.225 m/s²

答え

a = 2.225 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 18.95 N

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 0)/11 = 2.23 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8.5·2.23 + 0 = 18.95 N

答え

T = 18.95 N

5.放物運動

答え: v₀ = 35.3 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·110/sin 120°) = 35.3 m/s

答え

v₀ = 35.3 m/s

6.放物運動

答え: t = 4.233 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 45° = 11.31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 45° = 11.31 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 40 + 11.31·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11.31 + √(128 + 784.8))/9.81 = 4.233 s

答え

t = 4.233 s

7.円運動

答え: v_max = 14.01 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·40) = 14.01 m/s

答え

v_max = 14.01 m/s (50.43 km/h)

8.円運動

答え: v_max = 41.6 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力のつり合い

摩擦は斜面を下る向きです。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速さ

v = √(290·9.81·0.53/0.8713) = 41.6 m/s

答え

v_max = 41.6 m/s

(149.8 km/h)

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 34.68 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.7071 = 17.34 N

F = μN = 0.2·17.34 = 3.468 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 3.468·10 = 34.68 J

答え

W_f = 34.68 J

10.仕事とエネルギー

答え: v = 1.117 m/s

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 29.43·0.5 = 14.71 J

μ·m₁g·d = 0.2·78.48·0.5 = 7.848 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 6.867 → v = √(2·6.867/11) = 1.117 m/s

答え

v = 1.117 m/s

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 4.5 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1.5 − 2.5)/(1.5 + 2.5)·6 = −1.5 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 2.5)·6 = 4.5 m/s

答え

v′₂ = 4.5 m/s

12.運動量と衝突

答え: v = 103 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1·(1 − cos 15°) = 0.03407 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.03407) = 0.8176 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 1.512·0.8176/0.012 = 103 m/s

答え

v = 103 m/s

13.ばねと振り子

答え: T = 2.765 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(1.9/9.81) = 2.765 s

答え

T = 2.765 s

14.ばねと振り子

答え: a_max = 4.9 m/s²

角周波数

ω = √(490/2) = 15.65 rad/s

最大の加速度

a_max = A·ω² = 0.02·15.65² = 4.9 m/s²

答え

a_max = 4.9 m/s²

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