AP Physics 1 の練習問題：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 19 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、2 m/s² で一様に加速する。パトカーは出発点からどれだけ離れた所で追いつくか。d を求めよ。

v_car = 19 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.運動学むずかしい

球 A を高さ 40 m から静かに落とす。同時に、その真下の地面から球 B を 29 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 2 つの球が出会うのはいつか。t を求めよ。

H = 40 mv_0B = 29 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 7 kg のブロックが、水平と 25° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 7 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 140 N が前の 2 kg のブロックを引き、6 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.1 である。g = 9.81 m/s² とする。つないでいる糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 6 kgm₂ = 2 kgF = 140 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 70° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 38 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

高さ 25 m のがけの上から、ボールを 23 m/s、水平から 30° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールが地面に当たるときの速さ v を求めよ。

v₀ = 23 m/sθ = 30°h = 25 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.円運動ふつう

車が半径 95 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.5、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 95 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 0.2 kg のボールを長さ 1 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 8.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.2 kgr = 1 mv = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 800 kg の自動車が 3° の坂を一定の 90 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 300 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 800 kgθ = 3°F_r = 300 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 5 m から静かに放す。下で長さ 1 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 10 kgh = 5 mL = 1 mμ = 0.25k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、12 m/s で動く質量 4 kg のグライダーが、静止している質量 5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.35 kg のボールが 25 m/s で壁に当たり、10 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 40 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.35 kgv_in = 25 m/sv_out = 10 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

周期が 1.3 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 1.3 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

k = 340 N/m のばねにつけた質量 0.5 kg の物体を、つり合いの位置から 13 cm 引いて静かに放す。振動の全エネルギー E を求めよ。

m = 0.5 kgk = 340 N/mA = 13 cm

E = J

3溶液

1.運動学

答え: d = 361 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·19/2 = 19 s

距離

d = v·t = 19·19 = 361 m

答え

d = 361 m

その瞬間、パトカーは 2v = 38 m/s で走っています。

2.運動学

答え: t = 1.379 s

出会う時刻

上向きを正とし、地面を y = 0 とします。

40 − ½g·t² = 29·t − ½g·t² → t = 40/29 = 1.379 s

答え

t = 1.379 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.257 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.1·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.09063) = 3.257 m/s²

答え

a = 3.257 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 105 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (140 − 7.848)/8 = 16.52 m/s²

後ろのブロックだけ

T = m₁·(a + μ·g) = 6·(16.52 + 0.981) = 105 N

答え

T = 105 N

両方のブロックの μ が同じなら、摩擦は消えます：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.放物運動

答え: x = 94.62 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 70° = 13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 70° = 35.71 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·35.71/9.81 = 7.28 s

水平距離

x = v_x·t = 13·7.28 = 94.62 m

答え

x = 94.62 m

6.放物運動

答え: v = 31.93 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 23·cos 30° = 19.92 m/s

v_y0 = 23·sin 30° = 11.5 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(11.5² + 2·9.81·25) = 24.95 m/s

衝突時の速さ

v = √(19.92² + 24.95²) = 31.93 m/s

答え

v = 31.93 m/s

エネルギーで確認：v² = v₀² + 2gh。

7.円運動

答え: v_max = 21.59 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·95) = 21.59 m/s

答え

v_max = 21.59 m/s (77.71 km/h)

8.円運動

答え: T = 16.41 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.2·9.81 + 0.2·8.5²/1 = 1.962 + 14.45 = 16.41 N

答え

T = 16.41 N

9.仕事とエネルギー

答え: P = 17.77 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 800·9.81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 3° = 410.7 N

F = 410.7 + 300 = 710.7 N

電力

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 710.7·25 = 17768 W = 17.77 kW

答え

P = 17.77 kW

10.仕事とエネルギー

答え: x = 68.26 cm

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 98.1·(5 − 0.25·1) = 466 J

最大縮み

½kx² = 466 → x = √(2·466/2000) = 0.6826 m = 68.26 cm

答え

x = 68.26 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 10.67 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4 − 5)/(4 + 5)·12 = −1.333 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 5)·12 = 10.67 m/s

答え

v′₂ = 10.67 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 12.25 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.35·(10 + 25) = 12.25 N·s

答え

J = 12.25 N·s

13.ばねと振り子

答え: L = 0.4199 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.3/2π)² = 0.4199 m

答え

L = 0.4199 m

14.ばねと振り子

答え: E = 2.873 J

角周波数

ω = √(340/0.5) = 26.08 rad/s

エネルギー

E = ½·k·A² = ½·340·0.13² = 2.873 J

答え

E = 2.873 J

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