AP Physics 1 の練習問題：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

2演習問題

1.運動学ふつう

90 km/h で走っている車が、一定の減速度 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 90 km/ha = −3 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

球 A を高さ 25 m から静かに落とす。同時に、その真下の地面から球 B を 19 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 2 つの球が出会うのはいつか。t を求めよ。

H = 25 mv_0B = 19 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 8 kg のブロックが、水平と 30° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 8 kgθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、30° の斜面を速さ 6.5 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 6.5 m/sθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 25° 上向きに打ち出すと、115 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 25°R = 115 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

高さ 20 m のがけの上から、ボールを 21 m/s、水平から 35° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 21 m/sθ = 35°h = 20 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.円運動ふつう

車が半径 35 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.8、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 35 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

半径 290 m のカーブに 30° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。自動車がバンクを下にすべり落ちずにカーブを通過できる最低の速さ v_min を求めよ。

r = 290 mθ = 30°μ_s = 0.2g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 2 kg のブロックが水平と 30° をなす斜面を 17 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 2 kgθ = 30°μ = 0.25d = 17 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 0.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 4 m から静かに放す。下で長さ 1.5 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 800 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 0.5 kgh = 4 mL = 1.5 mμ = 0.25k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

水平に 8 m/s で動いている質量 6 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 1 kg の破片は前向きに 14 m/s で進み続ける。質量 5 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 6 kgu = 8 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 14 m/sm₂ = 5 kg

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.1 kg のボールが 13 m/s で壁に当たり、10 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.1 kgv_in = 13 m/sv_out = 10 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

周期が 2 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 2 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

ある物体が周期 3.3 s、振幅 15 cm で単振動をしている。つり合いの位置から変位 11.25 cm まで動くのに必要な最短時間 t はどれだけか。

T = 3.3 sA = 15 cmx = 11.25 cm

t = s

3溶液

1.運動学

答え: t = 8.333 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 25/3 = 8.333 s

答え

t = 8.333 s

2.運動学

答え: t = 1.316 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

出会う時刻

上向きを正とし、地面を y = 0 とします。

25 − ½g·t² = 19·t − ½g·t² → t = 25/19 = 1.316 s

答え

t = 1.316 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.356 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.3·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2598) = 2.356 m/s²

答え

a = 2.356 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: d = 3.005 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 30° + 0.25·cos 30°) = 7.029 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 6.5²/(2·7.029) = 3.005 m

答え

d = 3.005 m

5.放物運動

答え: v₀ = 38.38 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·115/sin 50°) = 38.38 m/s

答え

v₀ = 38.38 m/s

6.放物運動

答え: α = 53.42 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 21·cos 35° = 17.2 m/s

v_y0 = 21·sin 35° = 12.05 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(12.05² + 2·9.81·20) = 23.18 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 23.18/17.2 → α = 53.42°

答え

α = 53.42°

7.円運動

答え: v_max = 16.57 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·35) = 16.57 m/s

答え

v_max = 16.57 m/s (59.66 km/h)

8.円運動

答え: v_min = 31.02 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力のつり合い

摩擦は斜面を上る向きです。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速さ

v = √(290·9.81·0.3268/0.966) = 31.02 m/s

答え

v_min = 31.02 m/s

(111.7 km/h)

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 72.21 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.866 = 16.99 N

F = μN = 0.25·16.99 = 4.248 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 4.248·17 = 72.21 J

答え

W_f = 72.21 J

10.仕事とエネルギー

答え: x = 21.08 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 4.905·(4 − 0.25·1.5) = 17.78 J

最大縮み

½kx² = 17.78 → x = √(2·17.78/800) = 0.2108 m = 21.08 cm

答え

x = 21.08 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 6.8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突前の運動量

p = M·u = 6·8 = 48 kg·m/s

衝突後の運動量

48 = 1·14 + 5·v′₂

v′₂ = (48 − 14)/5 = 6.8 m/s

答え

v′₂ = 6.8 m/s

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 230 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.1·(10 + 13) = 2.3 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 2.3/0.01 = 230 N

答え

F_avg = 230 N

13.ばねと振り子

答え: L = 0.994 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2/2π)² = 0.994 m

答え

L = 0.994 m

14.ばねと振り子

答え: t = 0.4454 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = 2π/T = 2π/3.3 = 1.904 rad/s

時間について解く

0.75 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.75) = 0.8481 rad

t = 0.8481/1.904 = 0.4454 s

答え

t = 0.4454 s

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