運動学
- 速度
- v = v0 + a·t
- 変位
- s = v0·t + ½·a·t²
- 時間を含まない式
- v² = v0² + 2·a·s
- 単位
- 1 m/s = 3.6 km/h
解き方
- わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
- わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
- 正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
- 解いて、答えが物理的に妥当か確認します。
AP Physics 1 の練習問題：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
ニュートンの法則
- 第 2 法則
- ΣF = m·a
- 重力
- W = m·g
- 動摩擦
- Ff = μ·N
- 斜面上
- 斜面方向：m·g·sin θ、 垂直方向：m·g·cos θ
解き方
- 物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
- 運動の向きに沿って正の向きを決めます。
- 力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
- 運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。
放物運動
- 成分
- vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
- 位置
- x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
- 最高点の高さ
- H = h + vy²/(2g)
- 水平到達距離（水平な地面）
- R = v0²·sin 2θ/g
解き方
- 初速度を成分に分けます：vx = v₀·cos θ、vy = v₀·sin θ。
- 水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
- 鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
- その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。
円運動
- 向心加速度
- a = v²/r = ω²·r
- 向心力
- F = m·v²/r
- 角速度
- ω = v/r = 2π/T
- 平らなカーブ、摩擦
- vmax = √(μ·g·r)
仕事とエネルギー
- 運動エネルギー
- Ek = ½mv²
- 位置エネルギー
- Ep = mgh
- エネルギー収支
- Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
- 摩擦力がする仕事
- W = μ·N·d
- 電力
- P = W/t
運動量と衝突
- 運動量
- p = m·v
- 保存則
- Σm·v (before) = Σm·v (after)
- 完全非弾性
- v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
- 力積
- J = F·Δt = m·Δv
解き方
- 正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
- 衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
- 完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
- 衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。
ばねと振り子
- ばね振り子
- T = 2π·√(m/k)
- 単振り子
- T = 2π·√(L/g)
- 角周波数
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大の速さと最大の加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- エネルギー
- E = ½·k·A²
2演習問題
1.運動学ふつう
一定の 16 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、2 m/s² で一様に加速する。 パトカーが追いつくまでの時間はどれだけか。t を求めよ。
vcar = 16 m/sapolice = 2 m/s²v0,police = 0
t = s
2.運動学むずかしい
地面から高さ 30 m の屋上の端から、ボールを 5 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。 投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。
v₀ = 5 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.ニュートンの法則ふつう
箱が水平な床の上を初速 2 m/s ですべり、4.1 m 進んで止まる。g = 9.81 m/s² とする。動摩擦係数 μ を求めよ。
v₀ = 2 m/sd = 4.1 mg = 9.81 m/s²
μ =
4.ニュートンの法則むずかしい
水平な机の上にある質量 7.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2 kg のおもりとつながれている。 ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。 全体の加速度 a を求めよ。
m1 = 7.5 kgm2 = 2 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.放物運動ふつう
ボールを 平らな地面から水平から 60° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。
v0 = 30 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²
x = m
6.放物運動むずかしい
ボールを 高さ 25 m の崖の上から水平から 50° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。
v0 = 13 m/sθ = 50°h = 25 mg = 9.81 m/s²
t = s
7.円運動ふつう
車が半径 120 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.6、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ vmax を求めよ。
r = 120 mμs = 0.6g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.円運動むずかしい
半径 240 m のカーブに 25° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。 自動車が外側上方へすべり出さずにカーブを通過できる最高の速さ vmax を求めよ。
r = 240 mθ = 25°μs = 0.3g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
9.仕事とエネルギーふつう
ブロックが水平と 20° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。斜面に沿って 6 m すべった後の速さ v を求めよ。
θ = 20°μ = 0.25d = 6 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
10.仕事とエネルギーむずかしい
質量 4 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2 m から静かに放す。下で長さ 4 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 4000 N/m）に当たる。 ばねの最大縮み x を求めよ。
m = 4 kgh = 2 mL = 4 mμ = 0.1k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
11.運動量と衝突ふつう
摩擦のないレール上で、6 m/s で動く質量 3.5 kg のグライダーが、静止している質量 2.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。 衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′1 を求めよ（元の進行方向を正とする）。
m1 = 3.5 kgm2 = 2.5 kgv1 = 6 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
12.運動量と衝突むずかしい
質量 8 g の弾丸を、長さ 1.5 m の軽い糸でつり下げた質量 5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 10° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。
m = 8 gM = 5 kgL = 1.5 mθ = 10°g = 9.81 m/s²
v = m/s
13.ばねと振り子ふつう
k = 290 N/m のばねにつけた質量 2.9 kg のおもりを正の向きに 12 cm 引き、t = 0 に静かに放す。 t = 0.45 s での速度 v を符号をつけて求めよ。
m = 2.9 kgk = 290 N/mA = 12 cmt = 0.45 s
v = m/s
14.ばねと振り子むずかしい
k = 190 N/m のばねにつけたおもりが、摩擦のない面上で振幅 11 cm で振動する。 おもりがつり合いの位置から 6 cm のところにあるときにばねに蓄えられているエネルギー U を求めよ。
k = 190 N/mA = 11 cmx = 6 cm
U = J
3溶液
1.運動学
答え: t = 16 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
等しい距離
v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·16/2 = 16 s
答え
t = 16 s
その瞬間、パトカーは 2v = 32 m/s で走っています。
2.運動学
答え: t = 3.035 s
等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。
運動の式
上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。
−30 = 5·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 5·t − 30 = 0
2 次方程式を解く
物理的に意味があるのは正の解だけです。
t = (5 + √(5² + 2·9.81·30))/9.81 = 3.035 s
答え
t = 3.035 s
3.ニュートンの法則
答え: μ = 0.04973
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
減速度
a = v₀²/(2d) = 2²/(2·4.1) = 0.4878 m/s²
摩擦係数
μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.4878/9.81 = 0.04973
答え
μ = 0.04973
4.ニュートンの法則
答え: a = 0.5163 m/s²
ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。
系の加速度
a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (19.62 − 14.71)/9.5 = 0.5163 m/s²
答え
a = 0.5163 m/s²
5.放物運動
答え: x = 79.45 m
放物運動：空気抵抗がなければ x = vxt、y = h + vyt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。
初速度を分解する
水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。
vx = v0·cos θ = 30·cos 60° = 15 m/s
vy = v0·sin θ = 30·sin 60° = 25.98 m/s
滞空時間
発射点と着地点が同じ高さ：t = 2vy/g。
t = 2·25.98/9.81 = 5.297 s
水平距離
x = vx·t = 15·5.297 = 79.45 m
答え
x = 79.45 m
6.放物運動
答え: t = 3.49 s
放物運動：空気抵抗がなければ x = vxt、y = h + vyt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。
初速度を分解する
水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。
vx = v0·cos θ = 13·cos 50° = 8.356 m/s
vy = v0·sin θ = 13·sin 50° = 9.959 m/s
滞空時間
y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。
0 = 25 + 9.959·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (9.959 + √(99.17 + 490.5))/9.81 = 3.49 s
答え
t = 3.49 s
7.円運動
答え: vmax = 26.58 m/s
等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。
摩擦力が向心力になる
m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·120) = 26.58 m/s
答え
vmax = 26.58 m/s (95.68 km/h)
8.円運動
答え: vmax = 45.8 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
力のつり合い
摩擦は斜面を下る向きです。
N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r
N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g
速さ
v = √(240·9.81·0.6945/0.7795) = 45.8 m/s
答え
vmax = 45.8 m/s
(164.9 km/h)
9.仕事とエネルギー
答え: v = 3.551 m/s
仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。
斜面に沿ったエネルギー収支
ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。
½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·6·(0.342 − 0.25·0.9397)) = 3.551 m/s
答え
v = 3.551 m/s
10.仕事とエネルギー
答え: x = 17.72 cm
仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。
粗い区間を通過した後のエネルギー
スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。
mgh − μmgL = 39.24·(2 − 0.1·4) = 62.78 J
最大縮み
½kx² = 62.78 → x = √(2·62.78/4000) = 0.1772 m = 17.72 cm
答え
x = 17.72 cm
11.運動量と衝突
答え: v′1 = 1 m/s
運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。
静止した相手との弾性衝突
運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。
v′1 = (3.5 − 2.5)/(3.5 + 2.5)·6 = 1 m/s
v′2 = 2·3.5/(3.5 + 2.5)·6 = 7 m/s
答え
v′1 = 1 m/s
12.運動量と衝突
答え: v = 418.6 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
木片の上昇
h = L·(1 − cos θ) = 1.5·(1 − cos 10°) = 0.02279 m
衝突後の速さ
V = √(2·9.81·0.02279) = 0.6687 m/s
衝突
v = (m + M)·V/m = 5.008·0.6687/0.008 = 418.6 m/s
答え
v = 418.6 m/s
13.ばねと振り子
答え: v = 1.173 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角周波数
ω = √(290/2.9) = 10 rad/s
ω·t = 10·0.45 = 4.5 rad
速度
v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.12·10·sin(4.5) = 1.173 m/s
答え
v = 1.173 m/s
14.ばねと振り子
答え: U = 0.342 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
全エネルギー
E = ½·k·A² = ½·190·0.11² = 1.149 J
x でのばねのエネルギー
U = ½·k·x² = ½·190·0.06² = 0.342 J
答え
U = 0.342 J
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