物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

50 km/h で走っている車が、一定の減速度 5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 50 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 20 m の屋上の端から、ボールを 10 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 10 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 12 kg のブロックが、水平と 40° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 12 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

25° の斜面上にある質量 2.5 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 9.5 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 9.5 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 30° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 34 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 31 m/s、水平から 50° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 2 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 31 m/sθ = 50°h_roof = 2 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 45 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.3、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 45 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 1.7 kg のボールを長さ 1.3 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 1.7 kgr = 1.3 mv = 5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 2 kg のブロックが水平と 35° をなす斜面を 8 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 2 kgθ = 35°μ = 0.2d = 8 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 8 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.1）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 1 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 1.5 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m₁ = 8 kgm₂ = 1 kgμ = 0.1d = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

水平に 24 m/s で動いている質量 9 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 4 kg の破片は前向きに 43 m/s で進み続ける。質量 5 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 9 kgu = 24 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 43 m/sm₂ = 5 kg

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.2 kg のボールが 29 m/s で壁に当たり、20 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.2 kgv_in = 29 m/sv_out = 20 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 0.4 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 0.4 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 310 N/m のばねにつけたおもりが、摩擦のない面上で振幅 8 cm で振動する。おもりがつり合いの位置から 3 cm のところにあるときにばねに蓄えられているエネルギー U を求めよ。

k = 310 N/mA = 8 cmx = 3 cm

U = J

15.波・音・光学ふつう

観測者が、静止している 600 Hz の音源に向かって 5 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 600 Hzv = 343 m/sv_o = 5 m/s

f′ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

回折格子に 1 ミリメートルあたり 400 本の線があります。波長 550 nm の光が直角に当たります。見える明るい極大の最高次数 m_max はいくつですか？

N = 400 mm⁻¹λ = 550 nm

m_max =

3溶液

1.運動学

答え: s = 19.29 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·5) = 19.29 m

答え

s = 19.29 m

2.運動学

答え: t = 3.281 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−20 = 10·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 10·t − 20 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (10 + √(10² + 2·9.81·20))/9.81 = 3.281 s

答え

t = 3.281 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.803 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.2·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1532) = 4.803 m/s²

答え

a = 4.803 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 6.717 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

糸に沿った力

m₂·g = 93.2 N

m₁·g·sin θ = 10.36 N

μ·m₁·g·cos θ = 2.223 N

系の加速度

a = (93.2 − 10.36 − 2.223)/12 = 6.717 m/s²

答え

a = 6.717 m/s²

5.放物運動

答え: t = 3.466 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 30° = 29.44 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 30° = 17 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·17/9.81 = 3.466 s

答え

t = 3.466 s

6.放物運動

答え: x = 94.76 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 19.93 m/s, v_y = 23.75 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

2 = 23.75·t − 4.905·t²

t = (23.75 + √(23.75² − 2·9.81·2))/9.81 = 4.756 s

水平距離

x = v_x·t = 19.93·4.756 = 94.76 m

答え

x = 94.76 m

7.円運動

答え: v_max = 11.51 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·45) = 11.51 m/s

答え

v_max = 11.51 m/s (41.43 km/h)

8.円運動

答え: T = 49.37 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.7·9.81 + 1.7·5²/1.3 = 16.68 + 32.69 = 49.37 N

答え

T = 49.37 N

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 25.71 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.8192 = 16.07 N

F = μN = 0.2·16.07 = 3.214 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 3.214·8 = 25.71 J

答え

W_f = 25.71 J

10.仕事とエネルギー

答え: v = 0.8087 m/s

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 9.81·1.5 = 14.71 J

μ·m₁g·d = 0.1·78.48·1.5 = 11.77 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 2.943 → v = √(2·2.943/9) = 0.8087 m/s

答え

v = 0.8087 m/s

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 8.8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突前の運動量

p = M·u = 9·24 = 216 kg·m/s

衝突後の運動量

216 = 4·43 + 5·v′₂

v′₂ = (216 − 172)/5 = 8.8 m/s

答え

v′₂ = 8.8 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 9.8 N·s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.2·(20 + 29) = 9.8 N·s

答え

J = 9.8 N·s

13.ばねと振り子

答え: T = 1.269 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(0.4/9.81) = 1.269 s

答え

T = 1.269 s

14.ばねと振り子

答え: U = 0.1395 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

全エネルギー

E = ½·k·A² = ½·310·0.08² = 0.992 J

x でのばねのエネルギー

U = ½·k·x² = ½·310·0.03² = 0.1395 J

答え

U = 0.1395 J

15.波・音・光学

答え: f′ = 608.7 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 600·(343 + 5)/(343 − 0)

f′ = 608.7 Hz

答え

f′ = 608.7 Hz

16.波・音・光学

答え: m_max = 4

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/400 mm = 2.5 µm

最高次数

m ≤ d/λ = 2.5 µm/0.55 µm = 4.545 → m_max = 4

答え

m_max = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics