AP Statistics の練習問題：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

線形回帰と相関

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き: b = S_xy/S_xx
切片: a = ȳ − b·x̄
相関: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

カイ二乗検定

検定統計量: χ² = Σ(O − E)²/E
適合度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断: χ² > χ²_crit なら H₀ を棄却

2演習問題

1.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：18, 18, 49, 35, 32, 14。

n = 6

s =

2.記述統計むずかしい

ある量は平均 170、標準偏差 20 の正規分布に従います。182 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 20x = 182

P =

3.確率ふつう

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.1, 0.2, 0.35, 0.35

Var(X) =

4.確率むずかしい

X は示された分布をもち、Y = 10X + 20 です。Y の標準偏差 σ_Y を求めなさい。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.25, 0.25, 0.25Y = 10X + 20

σ_Y =

5.正規分布ふつう

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。172.4 から 181.5 cm の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 178σ = 7x₁ = 172.4x₂ = 181.5

P =

6.正規分布むずかしい

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。色つきの上位 75% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 100 点σ = 15 点75%

x = 点

7.線形回帰と相関ふつう

表は x = 車の年数（年）と y = 価格（k€）の 5 組の対になった観測値を示しています。それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 5Σx = 15Σy = 98Σx² = 55Σy² = 1996Σxy = 268

r =

8.線形回帰と相関むずかしい

表は x = 荷重 (kN) と y = 伸び (mm) の 6 組の対になった観測値を示しています。最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 9 のときの ŷ を予測しなさい。

n = 6x = 9

ŷ =

9.信頼区間ふつう

2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：30 台、平均 106.5 h、既知の標準偏差 5 h。機種 2：30 台、平均 121.5 h、既知の標準偏差 16 h。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。

n₁ = 30x̄₁ = 106.5 hσ₁ = 5 hn₂ = 30x̄₂ = 121.5 hσ₂ = 16 h99%

下限 = h

10.信頼区間むずかしい

機械加工した 25 本の軸の直径の標本標準偏差は 12 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 24 のとき、χ² 分布の 2.5% は 12.401 より下に、2.5% は 39.364 より上にあります。

n = 25s = 12 µmχ² = 12.401, 39.364

σ = µm

11.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 49 人の標本の平均点は 91.14、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 100x̄ = 91.14s = 20n = 49

t =

12.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 3 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 5 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 5E = 390%

n =

13.カイ二乗検定ふつう

分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。

N = 802 × 2

χ² =

14.カイ二乗検定むずかしい

表は観測度数を示しています。2 つの変数が独立かどうかを α = 0.05 で検定しなさい（連続性の補正なし）。検定統計量 χ² を計算し、表の臨界値と比べなさい。

N = 1803 × 2α = 0.05

χ² =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 13.43

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 166/6 = 27.67

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−9.667)² + (−9.667)² + 21.33² + 7.333² + 4.333² + (−13.67)² = 901.3

標準偏差

s = √(901.3/5) = 13.43

答え

s = 13.43

2.記述統計

答え: P = 0.7257

標準化する

z = 0.6

標準正規分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 0.7257

答え

P = 0.7257

3.確率

答え: Var(X) = 3.79

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 0·0.1 + 2·0.2 + 4·0.35 + 6·0.35 = 3.9

2 乗の平均

E(X²) = 0·0.1 + 4·0.2 + 16·0.35 + 36·0.35 = 19

分散

Var(X) = 19 − 3.9² = 3.79

答え

Var(X) = 3.79

4.確率

答え: σ_Y = 11.18

X のばらつき

μ = 2.5, Var(X) = 1.25, σ_X = 1.118

一次変換

σ_Y = |10|·1.118 = 11.18

答え

σ_Y = 11.18

平均は変化します：E(Y) = 10·2.5 + 20 = 45。

5.正規分布

答え: P = 0.4796

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (172.4 − 178)/7 = −0.8

z₂ = (181.5 − 178)/7 = 0.5

間の面積

P = Φ(0.5) − Φ(−0.8) = 0.6915 − 0.2119 = 0.4796

答え

P = 0.4796

6.正規分布

答え: x = 90 点

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.25

表からの z

z ≈ −0.67

元の単位に戻す

x = 100 − 0.67·15 = 90 点

答え

x = 90 点

7.線形回帰と相関

答え: r = −0.9481

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

偏差平方和・偏差積和

S_xy = 268 − 15·98/5 = −26

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 1996 − 98²/5 = 75.2

相関係数

r = −26/√(10·75.2) = −0.9481

答え

r = −0.9481

8.線形回帰と相関

答え: ŷ = 26.44

平均

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 129/6 = 21.5

平方和と積和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 173

回帰直線

b = 173/70 = 2.471

a = 21.5 − 2.471·7 = 4.2

ŷ = 4.2 + 2.471·x

予測

ŷ = 4.2 + 2.471·9 = 26.44

答え

ŷ = 26.44

9.信頼区間

答え: 下限 = −22.88 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点推定値

x̄₁ − x̄₂ = 106.5 − 121.5 = −15

標準誤差

SE = √(5²/30 + 16²/30) = 3.061

誤差の幅

E = 2.576·3.061 = 7.884

区間

−15 ± 7.884 → [−22.88, −7.116]

答え

下限 = −22.88 h

区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。

10.信頼区間

答え: σ = 9.37 µm

分散の区間：(n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。

平方和

(n − 1)s² = 24·12² = 3456

σ² の限界

3456/39.364 = 87.8

3456/12.401 = 278.7

σ の限界

σ = √87.8 = 9.37 µm

答え

σ = 9.37 µm

σ の 95% 区間：[9.37, 16.69] µm。

11.仮説検定と信頼区間

答え: t = −3.101

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 20/√49 = 20/7 = 2.857

検定統計量

t = (91.14 − 100)/2.857 = −3.101

答え

t = −3.101

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

12.仮説検定と信頼区間

答え: n = 8

n について解く

n = (1.645·5/3)² = 7.517

切り上げる

n = 8

答え

n = 8

13.カイ二乗検定

答え: χ² = 13.33

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

新薬: 40·48/80 = 24, 40·32/80 = 16

プラセボ: 40·48/80 = 24, 40·32/80 = 16

カイ二乗統計量

χ² = (16 − 24)²/24 + (24 − 16)²/16 + (32 − 24)²/24 + (8 − 16)²/16

χ² = 13.33

答え

χ² = 13.33

df = 1。α = 0.05 での臨界値は 3.841 なので、H₀（独立）は棄却される。

14.カイ二乗検定

答え: χ² = 2.857

期待度数

ライン 1: 24, 56

ライン 2: 18, 42

ライン 3: 12, 28

カイ二乗統計量

χ² = (28 − 24)²/24 + (52 − 56)²/56 + (18 − 18)²/18 + (42 − 42)²/42 + (8 − 12)²/12 + (32 − 28)²/28

χ² = 2.857

判断

df = 2, χ²_crit = 5.991

2.857 < 5.991

答え

χ² = 2.857

χ² は臨界値より小さいので、H₀ は棄却されません：関連を示す有意な証拠はありません。

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