AP Statistics の練習問題：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

確率

余事象
P(not A) = 1 − P(A)
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

線形回帰と相関

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
傾き
b = Sxy/Sxx
切片
a = ȳ − b·x̄
相関
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

カイ二乗検定

検定統計量
χ² = Σ(O − E)²/E
適合度
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
臨界値（α = 0.05）
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
判断
χ² > χ²crit なら H0 を棄却

2演習問題

1.記述統計ふつう
1520253035404550

データの標本標準偏差 s を求めなさい：43, 11, 52, 46, 34, 46。

n = 6
s =
2.記述統計むずかしい
z −2−1012

試験の点数は平均 100、標準偏差 5 の正規分布に従います。94 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 100σ = 5x = 94
z =
3.確率ふつう
赤: 4青: 6

袋に赤玉 4 個と青玉 6 個が入っています。1 個目を戻さずに 2 個取り出します。2 個とも赤である確率 P はいくつですか？

4 / 6
P =
4.確率むずかしい
€p(x)−100.68400.3900.02

ゲームの参加費は €10 です。確率 0.3 で €50、確率 0.02 で €100 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。

賭け金 = €10€50: p = 0.3€100: p = 0.02
E(G) = €
5.正規分布ふつう
105 s110.1 sX + Y?

X は平均 60 s、標準偏差 5 s の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 45 s、標準偏差 4 s の正規分布に従います。X + Y が 110.1 s を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 110.1 s
P =
6.正規分布むずかしい
4 s0X − Y?

走者 A の周回タイム X と走者 B の周回タイム Y は独立な正規変数です：X は平均 52 s、標準偏差 4 s、Y は平均 48 s、標準偏差 3 s です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.線形回帰と相関ふつう
xy145717822097231062611729141xy15202530100150

表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 6 組の対になった観測値を示しています。 ピアソンの相関係数 r を求めなさい。

n = 6
r =
8.線形回帰と相関むずかしい
xy253464671876109312104xy5106080100ŷ = 57

表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 57 と予測するのは、どの値 x のときですか？

n = 6ŷ = 57
x =
9.信頼区間ふつう
n = 8, s = 17LUx̄ = 82E = ?95%

8 個からなる標本の平均は 82、標準偏差は s = 17 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 8x̄ = 82s = 1795%t(7) = 2.365
E =
10.信頼区間むずかしい
σ = 27, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.595%

母標準偏差は 27 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 27E = 0.595%
n =
11.仮説検定と信頼区間ふつう
t −2.01102.011

学生 49 人の標本の平均点は 193.7、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 200x̄ = 193.7s = 20n = 49
t =
12.仮説検定と信頼区間むずかしい
μ₀x̄c

H₀: μ = 80 対 H₁: μ < 80 の片側 z 検定を、α = 0.05、標本サイズ 36 で行います。標準偏差は 6 であることがわかっています。実際の平均は 76.8 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。

μ₀ = 80μ = 76.8σ = 6n = 36α = 0.05
1 − β = %
13.カイ二乗検定ふつう
欠陥なし軽微重大合計日勤7171640夜勤283240100合計354956140

分割表は観測度数を示しています。行の変数と列の変数の独立性の検定について、カイ二乗統計量 χ² を計算しなさい。連続性の補正は使いません。

N = 1402 × 3
χ² =
14.カイ二乗検定むずかしい
はいいいえ合計ライン 1611980ライン 237340ライン 3621880合計16040200dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

表は観測度数を示しています。2 つの変数が独立かどうかを α = 0.05 で検定しなさい（連続性の補正なし）。検定統計量 χ² を計算し、表の臨界値と比べなさい。

N = 2003 × 2α = 0.05
χ² =

3溶液

1.記述統計

答え: s = 14.77

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 232/6 = 38.67

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 4.333² + (−27.67)² + 13.33² + 7.333² + (−4.667)² + 7.333² = 1091

標準偏差

s = √(1091/5) = 14.77

答え

s = 14.77
2.記述統計

答え: z = −1.2

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = (94 − 100)/5 = −1.2

答え

z = −1.2
3.確率

答え: P = 0.1333

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

1 回目と 2 回目

P = 4/10 · 3/9 = 12/90 = 0.1333

答え

P = 0.1333
4.確率

答え: E(G) = 7 €

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

純利得の結果

G: 40 (p = 0.3), 90 (p = 0.02), −10 (p = 0.68)

期待値

E(G) = 40·0.3 + 90·0.02 − 10·0.68 = 7 €

答え

E(G) = 7 €

正の値は、平均して得をすることを意味します。

5.正規分布

答え: P = 0.2119

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

標準化する

z = (110.1 − 105)/6.403 = 0.8

上側確率

P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119

答え

P = 0.2119
6.正規分布

答え: P = 0.7881

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

標準化する

z = (0 − 4)/5 = −0.8

確率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答え

P = 0.7881
7.線形回帰と相関

答え: r = 0.9863

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 129/6 = 21.5
ȳ = 600/6 = 100

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 801
Syy = Σ(y − ȳ)² = 4188

相関係数

r = 801/√(157.5·4188) = 0.9863

答え

r = 0.9863
8.線形回帰と相関

答え: x = 2.999

最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。

平均

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 461/6 = 76.83

平方和と積和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 347

回帰直線

b = 347/70 = 4.957
a = 76.83 − 4.957·7 = 42.13
ŷ = 42.13 + 4.957·x

x について解く

x = (57 − 42.13)/4.957 = 2.999

答え

x = 2.999
9.信頼区間

答え: E = 14.21

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 7, t = 2.365

誤差の幅

E = 2.365·17/√8 = 14.21

答え

E = 14.21
10.信頼区間

答え: n = 11203

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.96·27/0.5)² = 11202

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 11203

答え

n = 11203
11.仮説検定と信頼区間

答え: t = −2.205

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 20/√49 = 20/7 = 2.857

検定統計量

t = (193.7 − 200)/2.857 = −2.205

答え

t = −2.205
t0.025; df = 48 = 2.011

|t| > 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

12.仮説検定と信頼区間

答え: 1 − β = 94 %

検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

臨界標本平均

SE = 6/√36 = 1
x̄c = 80 − 1.645·1 = 78.36

真の平均のもとでの z

z = (78.36 − 76.8)/1 = 1.555

電力

検出力 = P(Z < 1.555) = 94%
1 − β = 94%

答え

1 − β = 94%
13.カイ二乗検定

答え: χ² = 2.16

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

日勤: 40·35/140 = 10, 40·49/140 = 14, 40·56/140 = 16
夜勤: 100·35/140 = 25, 100·49/140 = 35, 100·56/140 = 40

カイ二乗統計量

χ² = (7 − 10)²/10 + (17 − 14)²/14 + (16 − 16)²/16 + (28 − 25)²/25 + (32 − 35)²/35 + (40 − 40)²/40
χ² = 2.16

答え

χ² = 2.16

df = 2。α = 0.05 での臨界値は 5.991 なので、H₀（独立）は棄却されない。

14.カイ二乗検定

答え: χ² = 4.922

カイ二乗検定：観測度数 O と H₀ のもとでの期待度数 E を χ² = Σ(O − E)²/E で比べます。適合度検定：各カテゴリーで E = n·p、自由度 df = k − 1（データから推定したパラメータ 1 つごとにさらに 1 を引く）。r × c 表での独立性の検定：E = 行の合計 × 列の合計 / 総計、df = (r − 1)(c − 1)。χ² が選んだ α での臨界値を超えたら H₀ を棄却します。

期待度数

ライン 1: 64, 16
ライン 2: 32, 8
ライン 3: 64, 16

カイ二乗統計量

χ² = (61 − 64)²/64 + (19 − 16)²/16 + (37 − 32)²/32 + (3 − 8)²/8 + (62 − 64)²/64 + (18 − 16)²/16
χ² = 4.922

判断

df = 2, χ²crit = 5.991
4.922 < 5.991

答え

χ² = 4.922

χ² は臨界値より小さいので、H₀ は棄却されません：関連を示す有意な証拠はありません。

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice