微分積分学 I：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

最適化

解き方: Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
最大値: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小値: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ふたのある円柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利益: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (1 + 3/x)^x を求めなさい。小数で答えなさい。

f(x) = (1 + 3/x)^xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (e^−2x − 1 + 2x)/x² を求めなさい。

f(x) = (e^−2x − 1 + 2x)/x²x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = x·sin(3x)（x はラジアン）とします。f′(2) を求めなさい。

f(x) = x·sin(3x)x = 2 rad

f′(2) =

4.微分むずかしい

f(x) = −x² − 3x + 5 の x = 1 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。

f(x) = −x² − 3x + 5x = 1

b =

5.最適化ふつう

ふたと底のある円柱形の缶に 355 cm³ を入れなければなりません。使う金属の量は表面積の合計に比例します。材料が最も少なくなる缶の高さ h を求めなさい。

V = 355 cm³

h = cm

6.最適化むずかしい

ある小企業は製品を 1 個あたり €35 の一定の市場価格で販売しています。q 個を生産する費用は C(q) = 100 + 20q + 0.25q² ユーロです。利益が最大になる生産量 q を求めなさい。

p = €35C = 100 + 20q + 0.25q²

q = 個

7.積分ふつう

I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx を計算しなさい。

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

8.積分むずかしい

y = 2x² と y = x で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 2x²y = x

A =

3溶液

1.極限

答え: L = 20.09

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

対数をとる

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 3/x)

計算する

u → 0 のとき ln(1 + u)/u → 1 なので、x·ln(1 + a/x) → a です。

ln L = 1·3 = 3

対数をもとに戻す

L = e³ = 20.09

答え

L = 20.09

2.極限

答え: L = 2

1 回目の適用

(−2·e^−2x + 2)/(2x) → 0/0

2 回目の適用

4·e^−2x/2

x = 0 を代入する

L = 4·1/2 = 2

答え

L = 2

3.微分

答え: f′(2) = 5.482

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

積の法則と連鎖律

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

代入する

f′(2) = −0.2794 + 6·0.9602 = 5.482

答え

f′(2) = 5.482

4.微分

答え: b = 6

接点と傾き

f(1) = 1

f′(x) = −2x − 3 → f′(1) = −5

x = 0 での接線の値

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 1 − (−5)·1 = 6

答え

b = 6

5.最適化

答え: h = 7.674 cm

最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。

r の関数としての面積

h = 355/(πr²)

A(r) = 2πr² + 710/r

導関数をゼロとおく

A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0 なので、これは最小です。

4πr − 710/r² = 0 → r = ∛(355/(2π)) = 3.837 cm

高さと面積

h = 355/(π·3.837²) = 2r = 7.674 cm

A = 2π·3.837² + 710/3.837 = 277.5 cm²

答え

h = 7.674 cm

最も経済的なふたつきの缶は、高さと直径が等しくなります：h = 2r。

6.最適化

答え: q = 30 個

利益関数

P(q) = 35q − (100 + 20q + 0.25q²) = −0.25q² + 15q − 100

導関数をゼロとおく

P″(q) = −0.5 < 0 なので、これは最大です。

15 − 0.5q = 0 → q = 30

最大利益

P = 15·30 − 0.25·30² − 100 = €125

答え

q = 30

7.積分

答え: I = 156

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

置換積分

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

積分して代入する

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

答え

I = 156

8.積分

答え: A = 0.04167

交点

2x² = x → x = 0, x = 0.5

上から下を引いて積分する

A = [0.5x² − 0.6667x³]₀^0.5 = 0.04167

答え

A = 0.04167

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