微積分学 2：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

多変数の微分積分

偏導関数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
勾配: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向微分: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
接平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
連鎖律: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
2 階微分判定法: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重積分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
極座標: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

解き方

偏導関数では、もう一方の変数を定数として扱い、1 変数の規則を使いましょう。
勾配の問題では、その点で ∇f = (f_x, f_y) を計算します。最も急な傾きには |∇f| を、方向微分には単位ベクトル u との ∇f·u を使います。
極値では f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解き、そのあとすべての点を D = f_xx·f_yy − f_xy² で分類します。
二重積分では、領域を描き、内側の限界が境界の曲線になるように順序（円板なら極座標）を選び、内側から先に積分します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.積分ふつう

y = √(4x) の下の x = 0 から x = 2 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（放物面体）の体積 V を求めなさい。

y = √(4x)0 ≤ x ≤ 2

V =

2.積分むずかしい

直線 y = 2x と放物線 y = 0.5x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。

y = 2xy = 0.5x²

V =

3.数列と級数ふつう

和 S = Σ_k=1³⁰ 5/(k(k + 1)) を求めてください。

a_k = 5/(k(k + 1))n = 30

S =

4.数列と級数むずかしい

a = 1 のまわりでの f(x) = ∛x のテイラー級数で、(x − 1)⁴ の係数 c₄ を求めてください。

f(x) = ∛xa = 1k = 4

c₄ =

5.多変数の微分積分ふつう

(x, y) = (3, 1) の点での z = −x³y² + 3x² + y³ + 3xy の接平面は、z = px + qy + c と書けます。c を求めてください。

f(x, y) = −x³y² + 3x² + y³ + 3xy(a, b) = (3, 1)

c =

6.多変数の微分積分むずかしい

y = 0、x = 2、y = 3x で囲まれた三角形 T 上で、I = ∬_T (x + 4y) dA を計算してください。

f = x + 4y0 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ 3x

I =

7.微分方程式ふつう

360 °C の鍛造鋼部品を 23 °C の作業場に置いて冷まします。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。 k = 0.01 min⁻¹ として、24 分後の温度 T を求めなさい。

T₀ = 360 °CT_a = 23 °Ck = 0.01 min⁻¹t = 24 min

T = °C

8.微分方程式むずかしい

x > 0 で初期値問題 y′ + 2y/x = 4、y(1) = −1 を解きなさい。y(2) を求めなさい。

y′ + 2y/x = 4y(1) = −1

y(2) =

3溶液

1.積分

答え: V = 25.13

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

円板法

V = π∫₀² 4x dx

積分する

V = π·4·2²/2 = 25.13

答え

V = 25.13

2.積分

答え: V = 107.2

交点

2x = 0.5x² → x = 0, x = 4

ワッシャー法

V = π∫₀⁴ ((2x)² − (0.5x²)²) dx

積分する

V = π(4·4³/3 − 0.25·4⁵/5) = π·34.13 = 107.2

答え

V = 107.2

3.数列と級数

答え: S = 4.839

部分分数展開

5/(k(k + 1)) = 5·(1/k − 1/(k + 1))

キャンセル

S = 5·(1 − 1/31) = 4.839

答え

S = 4.839

4.数列と級数

答え: c₄ = −0.04115

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

導関数 f⁽⁴⁾

f⁽⁴⁾(x) = −0.9877·x^{1/3 − 4}

係数

c₄ = −0.9877·1^{1/3 − 4}/4! = −0.04115

c₄ = −0.04115

答え

c₄ = −0.04115

5.多変数の微分積分

答え: c = 70

勾配：∇f = (f_x, f_y) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて D_uf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

その点での値と傾き

f(3, 1) = 10

f_x = −3x²y² + 6x + 3y → f_x(3, 1) = −6

f_y = −2x³y + 3y² + 3x → f_y(3, 1) = −42

接平面

z = 10 − 6(x − 3) − 42(y − 1)

z = −6x − 42y + 70

定数項

c = 70

答え

c = 70

6.多変数の微分積分

答え: I = 56

臨界点と二重積分：臨界点では f_x = f_y = 0 です。D = f_xxf_yy − f_xy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ f_xx > 0 なら極小、D > 0 かつ f_xx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。

極限

0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3x

内側の積分

∫₀^3x (x + 4y) dy = x·3x + 4·(3x)²/2 = 21x²

外側の積分

I = 21·2³/3 = 56

答え

I = 56

7.微分方程式

答え: T = 288.1 °C

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

冷却法則の解

T(t) = 23 + 337·e^−0.01t

t を代入する

T(24) = 23 + 337·0.7866 = 288.1 °C

答え

T = 288.1 °C

8.微分方程式

答え: y(2) = 2.083

積分因子

μ = e^{∫2/x dx} = x²

積分する

(x²y)′ = 4x² → x²y = 4x³/3 + C

初期条件

−1 = 4/3 + C → C = −2.333

計算する

y(2) = (4·2³/3 + (−2.333))/2² = 2.083

答え

y(2) = 2.083

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2