微積分学 2：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

多変数の微分積分

偏導関数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
勾配: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向微分: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
接平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
連鎖律: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
2 階微分判定法: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重積分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
極座標: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

解き方

偏導関数では、もう一方の変数を定数として扱い、1 変数の規則を使いましょう。
勾配の問題では、その点で ∇f = (f_x, f_y) を計算します。最も急な傾きには |∇f| を、方向微分には単位ベクトル u との ∇f·u を使います。
極値では f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解き、そのあとすべての点を D = f_xx·f_yy − f_xy² で分類します。
二重積分では、領域を描き、内側の限界が境界の曲線になるように順序（円板なら極座標）を選び、内側から先に積分します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.積分ふつう

I = ∫₁⁴ x·ln x dx を計算しなさい。

∫₁⁴ x ln x dx

I =

2.積分むずかしい

直線 y = x と放物線 y = x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。

y = xy = x²

V =

3.数列と級数ふつう

4 つの級数のうち、ちょうど 1 つが発散します。それをクリックしてください。

A: Σ 1/k²B: Σ 2ᵏ/k!C: Σ (4/5)ᵏD: Σ ln k / k

1A: Σ 1/k²
2B: Σ 2ᵏ/k!
3C: Σ (4/5)ᵏ
4D: Σ ln k / k

4.数列と級数むずかしい

級数を見抜いて、その和を求めましょう：S = Σ_k=0^∞ (−2)ᵏ/k!。

a_k = (−2)ᵏ/k!

S =

5.多変数の微分積分ふつう

f(x, y) = 4xy² + 2x² + 2y² − 2xy について、(2, −1) での v = (−3, −1) の方向の方向微分 D_uf を求めてください。

f(x, y) = 4xy² + 2x² + 2y² − 2xyP = (2, −1)v = (−3, −1)

D_uf =

6.多変数の微分積分むずかしい

印の付いた点は、f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy の臨界点です。鞍点をクリックしてください。

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy

1A (−2, −2)
2B (0, 0)
3C (2, 2)

7.微分方程式ふつう

3 °C の缶ジュースを冷蔵庫から 29 °C の部屋に出します。 22 分後の温度は 26 °C です。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。定数 k を min⁻¹ で求めなさい。

T₀ = 3 °CT_a = 29 °CT(22) = 26 °C

k = min⁻¹

8.微分方程式むずかしい

x > 0 で初期値問題 y′ + 2y/x = 5、y(1) = 5 を解きなさい。y(2) を求めなさい。

y′ + 2y/x = 5y(1) = 5

y(2) =

3溶液

1.積分

答え: I = 7.34

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

原始関数

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

極限

(8·ln 4 − 4) − (0 − 0.25) = 7.34

答え

I = 7.34

2.積分

答え: V = 0.4189

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

交点

1x = 1x² → x = 0, x = 1

ワッシャー法

V = π∫₀¹ ((1x)² − (1x²)²) dx

積分する

V = π(1·1³/3 − 1·1⁵/5) = π·0.1333 = 0.4189

答え

V = 0.4189

3.数列と級数

答え: D: Σ ln k / k

各級数を判定する

A: Σ 1/k² → p = 2 > 1 の p 級数：収束します。

B: Σ 2ᵏ/k! → 比判定法：L = lim 2/(k + 1) = 0 < 1 なので収束します。

C: Σ (4/5)ᵏ → r = 4/5 の等比級数で |r| < 1：収束します。

D: Σ ln k / k → k ≥ 3 で 1/k より大きい：調和級数との比較により発散します。

答え

D: Σ ln k / k

答え

D: Σ ln k / k

4.数列と級数

答え: S = 0.1353

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

標準的な級数

Σ xᵏ/k! = eˣ

代入する

x = −2

S = e⁻² = 0.1353

答え

S = 0.1353

5.多変数の微分積分

答え: D_uf = −5.692

勾配：∇f = (f_x, f_y) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて D_uf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

その点での勾配

f_x = 4y² + 4x − 2y → f_x(2, −1) = 14

f_y = 8xy + 4y − 2x → f_y(2, −1) = −24

単位ベクトル

|v| = √((−3)² + (−1)²) = 3.162

u = (−0.9487, −0.3162)

内積

D_uf = 14·(−0.9487) + (−24)·(−0.3162) = −5.692

答え

D_uf = −5.692

6.多変数の微分積分

答え: B (0, 0)

臨界点と二重積分：臨界点では f_x = f_y = 0 です。D = f_xxf_yy − f_xy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ f_xx > 0 なら極小、D > 0 かつ f_xx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。

臨界点

f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解きましょう。

f_x = 4x³ − 16y = 0

f_y = 4y³ − 16x = 0

(0, 0), (2, 2), (−2, −2)

2 階微分判定法

(0, 0): f_xx = 0, f_yy = 0, f_xy = −16, D = −256 → 鞍点

(2, 2): f_xx = 48, f_yy = 48, f_xy = −16, D = 2048 → 極小

(−2, −2): f_xx = 48, f_yy = 48, f_xy = −16, D = 2048 → 極小

その点

B (0, 0): 鞍点

答え

B (0, 0)

7.微分方程式

答え: k = 0.09816 min⁻¹

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

温度差の比

e^−22k = -3/-26

k について解く

k = ln(-26/-3)/22 = 0.09816 min⁻¹

答え

k = 0.09816 min⁻¹

8.微分方程式

答え: y(2) = 4.167

積分因子

μ = e^{∫2/x dx} = x²

積分する

(x²y)′ = 5x² → x²y = 5x³/3 + C

初期条件

5 = 5/3 + C → C = 3.333

計算する

y(2) = (5·2³/3 + 3.333)/2² = 4.167

答え

y(2) = 4.167

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