公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
I = ∫₁2 x·ln x dx を計算しなさい。
I = ∫₀1 x²·eˣ dx を計算しなさい。
和 S = Σk=115 12/(k(k + 1)) を求めてください。
級数を見抜いて、その和を求めましょう：S = Σk=1∞ (−1)k+1·0.5ᵏ/k。
f(x, y) = 3xy² − 4x³ − 3y³ + 3xy について、点 (−1, 1) での f の変化率の最大値、つまり |∇f| を求めてください。
積分 I = ∫01.2 ∫x1.2 ey² dy dx は、この順序では計算できません。積分の順序を入れ替えて計算してください。
85 °C のコーヒーを 24 °C の部屋に置いておきます。 8 分後の温度は 49 °C です。 温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。 定数 k を min⁻¹ で求めなさい。
タンクに純水が 400 L 入っています。 1 L あたり 0.1 kg の塩を含む塩水が 20 L/min で流入し、よく混ざった溶液が同じ流量で流出します。 タンク内の塩が 20 kg になるのは何分後 t ですか？
答え: I = 0.6363
部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。
答え: I = 0.7183
部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。
答え: S = 11.25
収束：項が 0 に近づかなければ、級数は発散します（第 n 項判定法）。Σ1/kᵖ が収束するのは p > 1 のときだけで、Σrᵏ が収束するのは |r| < 1 のときだけです。k が大きいときに項がこれらと同じようにふるまうなら、級数をこれらと比較します。比判定法：L = lim |ak+1/ak|、根判定法：L = lim |ak|1/k。L < 1 なら収束、L > 1 なら発散、L = 1 なら何も決まりません。べき級数 Σck(x − x₀)ᵏ は |x − x₀| < R で収束し、R = lim |ck/ck+1| です。項が 0 に減少していく交代級数は収束します。
答え: S = 0.4055
テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。
答え: |∇f| = 18.97
勾配：∇f = (fx, fy) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて Duf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt。
答え: I = 1.61
臨界点と二重積分：臨界点では fx = fy = 0 です。D = fxxfyy − fxy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ fxx > 0 なら極小、D > 0 かつ fxx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。
答え: k = 0.1115 min⁻¹
1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·ekt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e∫p dx を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。
答え: t = 13.86 min
1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·ekt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e∫p dx を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。
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