微積分学 2：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

多変数の微分積分

偏導関数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
勾配: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向微分: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
接平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
連鎖律: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
2 階微分判定法: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重積分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
極座標: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

解き方

偏導関数では、もう一方の変数を定数として扱い、1 変数の規則を使いましょう。
勾配の問題では、その点で ∇f = (f_x, f_y) を計算します。最も急な傾きには |∇f| を、方向微分には単位ベクトル u との ∇f·u を使います。
極値では f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解き、そのあとすべての点を D = f_xx·f_yy − f_xy² で分類します。
二重積分では、領域を描き、内側の限界が境界の曲線になるように順序（円板なら極座標）を選び、内側から先に積分します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.積分ふつう

y = 2x の下の x = 0 から x = 2 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（円錐）の体積 V を求めなさい。

y = 2x0 ≤ x ≤ 2

V =

2.積分むずかしい

I = ∫₀¹ x²·eˣ dx を計算しなさい。

∫₀¹ x²eˣ dx

I =

3.数列と級数ふつう

べき級数 Σ_k=1^∞ k²·2ᵏ·(x − 3)ᵏ の収束半径 R を求めてください。

Σ k²·2ᵏ·(x − 3)ᵏx₀ = 3

R =

4.数列と級数むずかしい

a = −1 のまわりでの f(x) = e^−x のテイラー級数で、(x + 1)⁴ の係数 c₄ を求めてください。

f(x) = e^−xa = −1k = 4

c₄ =

5.多変数の微分積分ふつう

f(x, y) = ln(x² + 3y²) について、(1, −1) で最も急に増加する方向を、正の x 軸からの角度 θ として、−180° から 180° の間で、度で求めてください。

f(x, y) = ln(x² + 3y²)P = (1, −1)

θ = °

6.多変数の微分積分むずかしい

y = 0、x = 3、y = x で囲まれた三角形 T 上で、I = ∬_T (2x + 4y) dA を計算してください。

f = 2x + 4y0 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ x

I =

7.微分方程式ふつう

5 °C の缶ジュースを冷蔵庫から 23 °C の部屋に出します。 14 分後の温度は 14 °C です。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。定数 k を min⁻¹ で求めなさい。

T₀ = 5 °CT_a = 23 °CT(14) = 14 °C

k = min⁻¹

8.微分方程式むずかしい

タンクに純水が 100 L 入っています。 1 L あたり 0.05 kg の塩を含む塩水が 20 L/min で流入し、よく混ざった溶液が同じ流量で流出します。 5 分後にタンク内にある塩の量 m を求めなさい。

V = 100 Lm₀ = 0 kgc = 0.05 kg/Lr = 20 L/min

m = kg

3溶液

1.積分

答え: V = 33.51

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

円板法

V = π∫₀² 4x² dx

積分する

V = π·4·2³/3 = 33.51

答え

V = 33.51

確認：半径 4、高さ 2 の円錐は (1/3)πr²h = 33.51 です。

2.積分

答え: I = 0.7183

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

1 回目

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

2 回目

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

極限

2.718·(1) − 1·2 = 0.7183

答え

I = 0.7183

3.数列と級数

答え: R = 0.5

係数

c_k/c_k+1 = (1/2)·(k/(k + 1))² → 1/2

半径

R = 0.5

答え

R = 0.5

比判定法は 2 つの端点については何も教えてくれません。別に調べる必要があります。

4.数列と級数

答え: c₄ = 0.1133

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

導関数 f⁽⁴⁾

f⁽⁴⁾(x) = (−1)⁴·e^−x

係数

c₄ = (−1)⁴·e¹/4! = 0.1133

c₄ = 0.1133

答え

c₄ = 0.1133

5.多変数の微分積分

答え: θ = −71.57 °

勾配：∇f = (f_x, f_y) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて D_uf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

偏導関数

f_x = 2x/(x² + 3y²) → f_x(1, −1) = 0.5

f_y = 6y/(x² + 3y²) → f_y(1, −1) = −1.5

向き

θ = atan2(−1.5, 0.5) = −71.57°

答え

θ = −71.57°

6.多変数の微分積分

答え: I = 36

臨界点と二重積分：臨界点では f_x = f_y = 0 です。D = f_xxf_yy − f_xy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ f_xx > 0 なら極小、D > 0 かつ f_xx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。

極限

0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ x

内側の積分

∫₀^x (2x + 4y) dy = 2x·x + 4·(x)²/2 = 4x²

外側の積分

I = 4·3³/3 = 36

答え

I = 36

7.微分方程式

答え: k = 0.04951 min⁻¹

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

温度差の比

e^−14k = -9/-18

k について解く

k = ln(-18/-9)/14 = 0.04951 min⁻¹

答え

k = 0.04951 min⁻¹

8.微分方程式

答え: m = 3.161 kg

方程式を立てる

dm/dt = 20·0.05 − (20/100)·m = 1 − 0.2·m

解く

積分因子は e^rt/V で、解は平衡量 c·V に近づきます。

m(t) = 5 + (−5)·e^−t/5

t を代入する

m(5) = 5 + (−5)·0.3679 = 3.161 kg

答え

m = 3.161 kg

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