微積分学 2：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

多変数の微分積分

偏導関数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
勾配: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向微分: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
接平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
連鎖律: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
2 階微分判定法: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重積分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
極座標: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

解き方

偏導関数では、もう一方の変数を定数として扱い、1 変数の規則を使いましょう。
勾配の問題では、その点で ∇f = (f_x, f_y) を計算します。最も急な傾きには |∇f| を、方向微分には単位ベクトル u との ∇f·u を使います。
極値では f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解き、そのあとすべての点を D = f_xx·f_yy − f_xy² で分類します。
二重積分では、領域を描き、内側の限界が境界の曲線になるように順序（円板なら極座標）を選び、内側から先に積分します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.積分ふつう

I = ∫₁² x·ln x dx を計算しなさい。

∫₁² x ln x dx

I =

2.積分むずかしい

放物線 y = 9 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 9 − x²

A =

3.数列と級数ふつう

4 つの級数のうち、ちょうど 1 つが収束します。それをクリックしてください。

A: Σ (7/4)ᵏB: Σ k³/2ᵏC: Σ 3ᵏ/k³D: Σ 1/√k

1A: Σ (7/4)ᵏ
2B: Σ k³/2ᵏ
3C: Σ 3ᵏ/k³
4D: Σ 1/√k

4.数列と級数むずかしい

f(x) = e^3x の 4 次のマクローリン多項式を使って、f(1) を近似してください。P₄(1) を答えてください。

f(x) = e^3xn = 4x = 1

P₄(1) =

5.多変数の微分積分ふつう

f(x, y) = 2x³y² − 2x² − 5y² について、点 (3, −1) での f の変化率の最大値、つまり |∇f| を求めてください。

f(x, y) = 2x³y² − 2x² − 5y²P = (3, −1)

|∇f| =

6.多変数の微分積分むずかしい

極座標を使って、I = ∬_R √(x² + y²) dA を計算してください。R は円板 x² + y² ≤ 1 の第 1 象限の 4 分の 1 です。

f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ π/2

I =

7.微分方程式ふつう

y(0) = 4、y′(0) = -2 として y″ + 4y′ + 3y = 0 を解きなさい。y(0.5) を求めなさい。

y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 4y′(0) = -2

y(0.5) =

8.微分方程式むずかしい

系が t ≥ 0 で y″ + 3y′ + 6.25y = 31.25 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。ステップ応答のピーク値 y_max を求めなさい。

y″ + 3y′ + 6.25y = 31.25y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3溶液

1.積分

答え: I = 0.6363

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

原始関数

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

極限

(2·ln 2 − 1) − (0 − 0.25) = 0.6363

答え

I = 0.6363

2.積分

答え: A = 36

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

零点

9 − x² = 0 → x = ±3

積分する

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

答え

A = 36

3.数列と級数

答え: B: Σ k³/2ᵏ

各級数を判定する

A: Σ (7/4)ᵏ → r = 7/4 > 1 の等比級数：項が大きくなるので発散します。

B: Σ k³/2ᵏ → 比判定法：L = 1/2 < 1 なので収束します。

C: Σ 3ᵏ/k³ → 比判定法：L = 3 > 1 なので発散します。

D: Σ 1/√k → p = 1/2 ≤ 1 の p 級数：発散します。

答え

B: Σ k³/2ᵏ

答え

B: Σ k³/2ᵏ

4.数列と級数

答え: P₄(1) = 16.38

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

マクローリン多項式

P₄(x) = 1 + 3x + 4.5x² + 4.5x³ + 3.375x⁴

代入する

P₄(1) = 1 + 3 + 4.5 + 4.5 + 3.375 = 16.38

答え

P₄(1) = 16.38

厳密な値は f(1) = 20.085537 です。項を増やすか、0 に近い点を取ると、誤差 3.710537 は小さくなります。

5.多変数の微分積分

答え: |∇f| = 106.6

勾配：∇f = (f_x, f_y) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて D_uf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

偏導関数

f_x = 6x²y² − 4x → f_x(3, −1) = 42

f_y = 4x³y − 10y → f_y(3, −1) = −98

勾配の長さ

|∇f| = √(42² + (−98)²) = 106.6

答え

|∇f| = 106.6

6.多変数の微分積分

答え: I = 0.5236

臨界点と二重積分：臨界点では f_x = f_y = 0 です。D = f_xxf_yy − f_xy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ f_xx > 0 なら極小、D > 0 かつ f_xx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。

極形式

I = ∫₀^π/2 ∫₀¹ r·r dr dθ

積分する

∫ r·r dr = [r³/3]

I = 0.5236

答え

I = 0.5236

7.微分方程式

答え: y(0.5) = 2.81

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

特性方程式の根

(r + 1)(r + 3) = 0 → r = −1, −3

初期値から求める定数

A + B = 4, −1A − 3B = -2

A = 5, B = −1

計算する

y(0.5) = 5·e^−0.5 + (−1)·e^−1.5 = 2.81

答え

y(0.5) = 2.81

8.微分方程式

答え: y_max = 5.474

定常値と根

y_ss = 5, r = −1.5 ± 2j

初期値から求める定数

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −1.5A + 2B = 0 → B = −3.75

ピーク

t = π/2 = 1.571

y_max = 5·(1 + e^−1.5·π/2) = 5.474

答え

y_max = 5.474

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