微積分学 2：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

多変数の微分積分

偏導関数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
勾配: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向微分: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
接平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
連鎖律: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
2 階微分判定法: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重積分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
極座標: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

解き方

偏導関数では、もう一方の変数を定数として扱い、1 変数の規則を使いましょう。
勾配の問題では、その点で ∇f = (f_x, f_y) を計算します。最も急な傾きには |∇f| を、方向微分には単位ベクトル u との ∇f·u を使います。
極値では f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解き、そのあとすべての点を D = f_xx·f_yy − f_xy² で分類します。
二重積分では、領域を描き、内側の限界が境界の曲線になるように順序（円板なら極座標）を選び、内側から先に積分します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.積分ふつう

I = ∫₀¹ x·sin x dx（x はラジアン）を計算しなさい。

∫₀¹ x·sin x dx

I =

2.積分むずかしい

y = x² と y = x で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = x²y = x

A =

3.数列と級数ふつう

和 S = Σ_k=1⁶ 2/(k(k + 1)) を求めてください。

a_k = 2/(k(k + 1))n = 6

S =

4.数列と級数むずかしい

f(x) = e^0.5x の 2 次のマクローリン多項式を使って、f(−1) を近似してください。P₂(−1) を答えてください。

f(x) = e^0.5xn = 2x = −1

P₂(−1) =

5.多変数の微分積分ふつう

z = 3x³y³ − 3x² − 3y² − xy、x = t + 2、y = 2t² です。連鎖律を使って、t = −1 での dz/dt を求めてください。

z = 3x³y³ − 3x² − 3y² − xyx = t + 2y = 2t²t = −1

dz/dt =

6.多変数の微分積分むずかしい

f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 4y の臨界点を求めて分類し、極大での f の値 f_max を答えてください。

f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 4y

f_max =

7.微分方程式ふつう

90 °C のコーヒーを 20 °C の部屋に置いておきます。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。 k = 0.08 min⁻¹ として、23 分後の温度 T を求めなさい。

T₀ = 90 °CT_a = 20 °Ck = 0.08 min⁻¹t = 23 min

T = °C

8.微分方程式むずかしい

y(0) = 2、y′(0) = 0（静止状態から放す）として y″ + 3y′ + 6.25y = 0 を解きなさい。y(0.5) を求めなさい。角度はラジアンとします。

y″ + 3y′ + 6.25y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(0.5) =

3溶液

1.積分

答え: I = 0.3012

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

原始関数

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

極限

(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0.3012

答え

I = 0.3012

2.積分

答え: A = 0.1667

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

交点

x² = x → x = 0, x = 1

上から下を引いて積分する

A = [0.5x² − 0.3333x³]₀¹ = 0.1667

答え

A = 0.1667

3.数列と級数

答え: S = 1.714

部分分数展開

2/(k(k + 1)) = 2·(1/k − 1/(k + 1))

キャンセル

S = 2·(1 − 1/7) = 1.714

答え

S = 1.714

4.数列と級数

答え: P₂(−1) = 0.625

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

マクローリン多項式

P₂(x) = 1 + 0.5x + 0.125x²

代入する

P₂(−1) = 1 − 0.5 + 0.125 = 0.625

答え

P₂(−1) = 0.625

厳密な値は f(−1) = 0.606531 です。項を増やすか、0 に近い点を取ると、誤差 −0.0184693 は小さくなります。

5.多変数の微分積分

答え: dz/dt = −28

勾配：∇f = (f_x, f_y) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて D_uf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

点と変化率

x(−1) = 1, y(−1) = 2

dx/dt = 1, dy/dt = 4t = −4

偏導関数

f_x = 9x²y³ − 6x − y = 64

f_y = 9x³y² − 6y − x = 23

連鎖律

dz/dt = 64·1 + 23·(−4) = −28

答え

dz/dt = −28

6.多変数の微分積分

答え: f_max = 20

臨界点と二重積分：臨界点では f_x = f_y = 0 です。D = f_xxf_yy − f_xy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ f_xx > 0 なら極小、D > 0 かつ f_xx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。

臨界点

f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解きましょう。

f_x = −(3x² − 12) = 0

f_y = −(2y + 4) = 0

(2, −2), (−2, −2)

2 階微分判定法

(2, −2): f_xx = −12, f_yy = −2, f_xy = 0, D = 24 → 極大

(−2, −2): f_xx = 12, f_yy = −2, f_xy = 0, D = −24 → 鞍点

極値での値

f(2, −2) = 20

答え

f_max = 20

7.微分方程式

答え: T = 31.12 °C

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

冷却法則の解

T(t) = 20 + 70·e^−0.08t

t を代入する

T(23) = 20 + 70·0.1588 = 31.12 °C

答え

T = 31.12 °C

8.微分方程式

答え: y(0.5) = 1.107

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

複素根

r = −1.5 ± 2j

定数

A = 2, B = 1.5·2/2 = 1.5

計算する

y(0.5) = e^−0.75(2·cos 1 + 1.5·sin 1) = 1.107

答え

y(0.5) = 1.107

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