公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
I = ∫01 ex dx を計算しなさい。
y = 2x2 と y = x で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。
べき級数 Σk=1∞ 4ᵏx²ᵏ/k の収束半径 R を求めてください。
f(x) = ln(1 + x) を、x = 0.5 で 4 次のマクローリン多項式で近似します。M = 4! = 24 としてラグランジュの誤差評価 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! を使い、誤差の最大値 |R₄| を求めてください。
f(x, y) = 4x²y³ + 5x² − 2y² について、点 (2, 1) での f の変化率の最大値、つまり |∇f| を求めてください。
f(x, y) = x³ + y³ − 3xy の臨界点を求めて分類し、極小での f の値 fmin を答えてください。
87 °C のコーヒーを 20 °C の部屋に置いておきます。 温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。 k = 0.04 min⁻¹ として、9 分後の温度 T を求めなさい。
系が t ≥ 0 で y″ + 3y′ + 27.25y = 27.25 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。ステップ応答のピーク値 ymax を求めなさい。
答え: I = 1.718
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
答え: A = 0.04167
定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。
答え: R = 0.5
収束：項が 0 に近づかなければ、級数は発散します（第 n 項判定法）。Σ1/kᵖ が収束するのは p > 1 のときだけで、Σrᵏ が収束するのは |r| < 1 のときだけです。k が大きいときに項がこれらと同じようにふるまうなら、級数をこれらと比較します。比判定法：L = lim |ak+1/ak|、根判定法：L = lim |ak|1/k。L < 1 なら収束、L > 1 なら発散、L = 1 なら何も決まりません。べき級数 Σck(x − x₀)ᵏ は |x − x₀| < R で収束し、R = lim |ck/ck+1| です。項が 0 に減少していく交代級数は収束します。
比判定法は 2 つの端点については何も教えてくれません。別に調べる必要があります。
答え: |R₄| = 0.00625
テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。
真の誤差はもっと小さくなります：|f(0.5) − P₄(0.5)| = 0.004423。
答え: |∇f| = 56.85
勾配：∇f = (fx, fy) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて Duf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt。
答え: fmin = −1
臨界点と二重積分：臨界点では fx = fy = 0 です。D = fxxfyy − fxy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ fxx > 0 なら極小、D > 0 かつ fxx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。
fx = 0 と fy = 0 を同時に解きましょう。
答え: T = 66.74 °C
1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·ekt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e∫p dx を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。
答え: ymax = 1.39
2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = ert とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·er₁t + B·er₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·ert（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 の形に書くと、ωn は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。
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