微積分学 2：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

多変数の微分積分

偏導関数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
勾配: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向微分: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
接平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
連鎖律: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
2 階微分判定法: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重積分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
極座標: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

解き方

偏導関数では、もう一方の変数を定数として扱い、1 変数の規則を使いましょう。
勾配の問題では、その点で ∇f = (f_x, f_y) を計算します。最も急な傾きには |∇f| を、方向微分には単位ベクトル u との ∇f·u を使います。
極値では f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解き、そのあとすべての点を D = f_xx·f_yy − f_xy² で分類します。
二重積分では、領域を描き、内側の限界が境界の曲線になるように順序（円板なら極座標）を選び、内側から先に積分します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.積分ふつう

I = ∫₂⁸ 2/x dx を計算しなさい。

f(x) = 2/x[2, 8]

I =

2.積分むずかしい

y = 2x² と y = x で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 2x²y = x

A =

3.数列と級数ふつう

べき級数 Σ_k=1^∞ k²·3ᵏ·xᵏ の収束半径 R を求めてください。

Σ k²·3ᵏ·xᵏx₀ = 0

R =

4.数列と級数むずかしい

f(x) = e^−x の 3 次のマクローリン多項式を使って、f(−1.5) を近似してください。P₃(−1.5) を答えてください。

f(x) = e^−xn = 3x = −1.5

P₃(−1.5) =

5.多変数の微分積分ふつう

f(x, y) = ln(x² + y²) について、P(2, 0.5) から Q(−1, 3.5) へ向かう方向の方向微分 D_uf を求めてください。

f(x, y) = ln(x² + y²)P = (2, 0.5)Q = (−1, 3.5)

D_uf =

6.多変数の微分積分むずかしい

f(x, y) = −x³ + 12x − y² の臨界点を求めて分類し、極大での f の値 f_max を答えてください。

f(x, y) = −x³ + 12x − y²

f_max =

7.微分方程式ふつう

87 °C のコーヒーを 22 °C の部屋に置いておきます。 13 分後の温度は 45 °C です。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。開始から 36 °C に達するまでの時間 t を求めなさい。

T₀ = 87 °CT_a = 22 °CT(13) = 45 °CT = 36 °C

t = min

8.微分方程式むずかしい

タンクに、塩 20 kg を溶かした水が 1000 L 入っています。 1 L あたり 0.25 kg の塩を含む塩水が 4 L/min で流入し、よく混ざった溶液が同じ流量で流出します。 60 分後にタンク内にある塩の量 m を求めなさい。

V = 1000 Lm₀ = 20 kgc = 0.25 kg/Lr = 4 L/min

m = kg

3溶液

1.積分

答え: I = 2.773

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

原始関数

F(x) = 2·ln x

上端と下端を代入する

I = 2·(ln 8 − ln 2) = 2·ln 4 = 2.773

答え

I = 2.773

2.積分

答え: A = 0.04167

交点

2x² = x → x = 0, x = 0.5

上から下を引いて積分する

A = [0.5x² − 0.6667x³]₀^0.5 = 0.04167

答え

A = 0.04167

3.数列と級数

答え: R = 0.3333

係数

c_k/c_k+1 = (1/3)·(k/(k + 1))² → 1/3

半径

R = 0.3333

答え

R = 0.3333

比判定法は 2 つの端点については何も教えてくれません。別に調べる必要があります。

4.数列と級数

答え: P₃(−1.5) = 4.188

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

マクローリン多項式

P₃(x) = 1 − x + 0.5x² − 0.1667x³

代入する

P₃(−1.5) = 1 + 1.5 + 1.125 + 0.5625 = 4.188

答え

P₃(−1.5) = 4.188

厳密な値は f(−1.5) = 4.481689 です。項を増やすか、0 に近い点を取ると、誤差 0.294189 は小さくなります。

5.多変数の微分積分

答え: D_uf = −0.4991

勾配：∇f = (f_x, f_y) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて D_uf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

その点での勾配

f_x = 2x/(x² + y²) → f_x(2, 0.5) = 0.9412

f_y = 2y/(x² + y²) → f_y(2, 0.5) = 0.2353

単位ベクトル

|v| = √((−3)² + 3²) = 4.243

u = (−0.7071, 0.7071)

内積

D_uf = 0.9412·(−0.7071) + 0.2353·0.7071 = −0.4991

答え

D_uf = −0.4991

6.多変数の微分積分

答え: f_max = 16

臨界点と二重積分：臨界点では f_x = f_y = 0 です。D = f_xxf_yy − f_xy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ f_xx > 0 なら極小、D > 0 かつ f_xx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。

臨界点

f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解きましょう。

f_x = −(3x² − 12) = 0

f_y = −(2y) = 0

(2, 0), (−2, 0)

2 階微分判定法

(2, 0): f_xx = −12, f_yy = −2, f_xy = 0, D = 24 → 極大

(−2, 0): f_xx = 12, f_yy = −2, f_xy = 0, D = −24 → 鞍点

極値での値

f(2, 0) = 16

答え

f_max = 16

7.微分方程式

答え: t = 19.21 min

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

冷却定数

k = ln(65/23)/13 = 0.07991 min⁻¹

目標温度に達するまでの時間

t = ln(65/14)/0.07991 = 19.21 min

答え

t = 19.21 min

8.微分方程式

答え: m = 69.08 kg

方程式を立てる

dm/dt = 4·0.25 − (4/1000)·m = 1 − 0.004·m

解く

積分因子は e^rt/V で、解は平衡量 c·V に近づきます。

m(t) = 250 + (−230)·e^−t/250

t を代入する

m(60) = 250 + (−230)·0.7866 = 69.08 kg

答え

m = 69.08 kg

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