微積分学 2：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

多変数の微分積分

偏導関数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
勾配: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向微分: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
接平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
連鎖律: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
2 階微分判定法: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重積分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
極座標: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

解き方

偏導関数では、もう一方の変数を定数として扱い、1 変数の規則を使いましょう。
勾配の問題では、その点で ∇f = (f_x, f_y) を計算します。最も急な傾きには |∇f| を、方向微分には単位ベクトル u との ∇f·u を使います。
極値では f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解き、そのあとすべての点を D = f_xx·f_yy − f_xy² で分類します。
二重積分では、領域を描き、内側の限界が境界の曲線になるように順序（円板なら極座標）を選び、内側から先に積分します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.積分ふつう

I = ∫₂¹⁰ 5/x dx を計算しなさい。

f(x) = 5/x[2, 10]

I =

2.積分むずかしい

直線 y = 3x と放物線 y = 2x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。

y = 3xy = 2x²

V =

3.数列と級数ふつう

べき級数 Σ_k=1^∞ k²·3ᵏ·xᵏ の収束半径 R を求めてください。

Σ k²·3ᵏ·xᵏx₀ = 0

R =

4.数列と級数むずかしい

f(x) = ln(1 + x) を、x = 0.2 で 3 次のマクローリン多項式で近似します。M = 3! = 6 としてラグランジュの誤差評価 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! を使い、誤差の最大値 |R₃| を求めてください。

f(x) = ln(1 + x)n = 3x = 0.2M = 6

|R₃| =

5.多変数の微分積分ふつう

z = −4x³y − 5x³ − 5y² + 3xy、x = t − 1、y = −t² − 1 です。連鎖律を使って、t = −1 での dz/dt を求めてください。

z = −4x³y − 5x³ − 5y² + 3xyx = t − 1y = −t² − 1t = −1

dz/dt =

6.多変数の微分積分むずかしい

積分 I = ∫₀^1.2 ∫_x^1.2 cos(y²) dy dx は、この順序では計算できません。積分の順序を入れ替えて計算してください。

f = cos(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 1.2

I =

7.微分方程式ふつう

y(0) = 3、y′(0) = -2 として y″ + 4y′ + 4y = 0 を解きなさい。y(1) を求めなさい。

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = -2

y(1) =

8.微分方程式むずかしい

y(0) = 2、y′(0) = 0（静止状態から放す）として y″ + 4y′ + 29y = 0 を解きなさい。y(0.75) を求めなさい。角度はラジアンとします。

y″ + 4y′ + 29y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(0.75) =

3溶液

1.積分

答え: I = 8.047

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

原始関数

F(x) = 5·ln x

上端と下端を代入する

I = 5·(ln 10 − ln 2) = 5·ln 5 = 8.047

答え

I = 8.047

2.積分

答え: V = 12.72

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

交点

3x = 2x² → x = 0, x = 1.5

ワッシャー法

V = π∫₀^1.5 ((3x)² − (2x²)²) dx

積分する

V = π(9·1.5³/3 − 4·1.5⁵/5) = π·4.05 = 12.72

答え

V = 12.72

3.数列と級数

答え: R = 0.3333

係数

c_k/c_k+1 = (1/3)·(k/(k + 1))² → 1/3

半径

R = 0.3333

答え

R = 0.3333

比判定法は 2 つの端点については何も教えてくれません。別に調べる必要があります。

4.数列と級数

答え: |R₃| = 0.0004

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

導関数の評価

M = 3! = 6

ラグランジュの評価

|R₃| ≤ 6·0.2⁴/4! = 0.0004

答え

|R₃| = 0.0004

真の誤差はもっと小さくなります：|f(0.2) − P₃(0.2)| = 0.0003451。

5.多変数の微分積分

答え: dz/dt = 122

勾配：∇f = (f_x, f_y) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて D_uf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

点と変化率

x(−1) = −2, y(−1) = −2

dx/dt = 1, dy/dt = −2t = 2

偏導関数

f_x = −12x²y − 15x² + 3y = 30

f_y = −4x³ − 10y + 3x = 46

連鎖律

dz/dt = 30·1 + 46·2 = 122

答え

dz/dt = 122

6.多変数の微分積分

答え: I = 0.4957

臨界点と二重積分：臨界点では f_x = f_y = 0 です。D = f_xxf_yy − f_xy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ f_xx > 0 なら極小、D > 0 かつ f_xx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。

領域

0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1.2

順序の入れ替え

I = ∫₀^1.2 ∫₀^y cos(y²) dx dy = ∫₀^1.2 y·cos(y²) dy

置換 u = y²

I = [sin(y²)/2]₀^1.2 = 0.4957

答え

I = 0.4957

7.微分方程式

答え: y(1) = 0.9473

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

重根

(r + 2)² = 0 → r = −2

定数

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 2A → B = -2 + 6 = 4

計算する

y(1) = (3 + 4·1)·e⁻² = 0.9473

答え

y(1) = 0.9473

8.微分方程式

答え: y(0.75) = −0.4682

複素根

r = −2 ± 5j

定数

A = 2, B = 2·2/5 = 0.8

計算する

y(0.75) = e^−1.5(2·cos 3.75 + 0.8·sin 3.75) = −0.4682

答え

y(0.75) = −0.4682

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