微積分学 2：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

多変数の微分積分

偏導関数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
勾配: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向微分: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
接平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
連鎖律: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
2 階微分判定法: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重積分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
極座標: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

解き方

偏導関数では、もう一方の変数を定数として扱い、1 変数の規則を使いましょう。
勾配の問題では、その点で ∇f = (f_x, f_y) を計算します。最も急な傾きには |∇f| を、方向微分には単位ベクトル u との ∇f·u を使います。
極値では f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解き、そのあとすべての点を D = f_xx·f_yy − f_xy² で分類します。
二重積分では、領域を描き、内側の限界が境界の曲線になるように順序（円板なら極座標）を選び、内側から先に積分します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.積分ふつう

I = ∫₀^π/3 x·cos x dx（x はラジアン）を計算しなさい。

∫₀^π/3 x·cos x dx

I =

2.積分むずかしい

I = ∫₀^2.5 x²·eˣ dx を計算しなさい。

∫₀^2.5 x²eˣ dx

I =

3.数列と級数ふつう

4 つの級数のうち、ちょうど 1 つが発散します。それをクリックしてください。

A: Σ 3/k²B: Σ k!/3ᵏC: Σ (1/2)ᵏD: Σ 1/(k(k + 1))

1A: Σ 3/k²
2B: Σ k!/3ᵏ
3C: Σ (1/2)ᵏ
4D: Σ 1/(k(k + 1))

4.数列と級数むずかしい

f(x) = eˣ を、x = 0.5 で 4 次のマクローリン多項式で近似します。M = e^0.5 = 1.649 としてラグランジュの誤差評価 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! を使い、誤差の最大値 |R₄| を求めてください。

f(x) = eˣn = 4x = 0.5M = 1.649

|R₄| =

5.多変数の微分積分ふつう

f(x, y) = −y·e^2xy について、(1, 2) での v = (−3, 0) の方向の方向微分 D_uf を求めてください。

f(x, y) = −y·e^2xyP = (1, 2)v = (−3, 0)

D_uf =

6.多変数の微分積分むずかしい

印の付いた点は、f(x, y) = x³ − 12x + y² + 4y の臨界点です。極小をクリックしてください。

f(x, y) = x³ − 12x + y² + 4y

1A (−2, −2)
2B (2, −2)

7.微分方程式ふつう

y(0) = 4、y′(0) = 4 として y″ + 7y′ + 10y = 0 を解きなさい。y(1.5) を求めなさい。

y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 4y′(0) = 4

y(1.5) =

8.微分方程式むずかしい

タンクに、塩 10 kg を溶かした水が 200 L 入っています。 1 L あたり 0.1 kg の塩を含む塩水が 2 L/min で流入し、よく混ざった溶液が同じ流量で流出します。タンク内の塩が 17 kg になるのは何分後 t ですか？

V = 200 Lm₀ = 10 kgc = 0.1 kg/Lr = 2 L/min

t = min

3溶液

1.積分

答え: I = 0.4069

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

原始関数

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

極限

(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0.4069

答え

I = 0.4069

2.積分

答え: I = 37.59

1 回目

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

2 回目

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

極限

12.18·(3.25) − 1·2 = 37.59

答え

I = 37.59

3.数列と級数

答え: B: Σ k!/3ᵏ

各級数を判定する

A: Σ 3/k² → p = 2 > 1 の p 級数：収束します。

B: Σ k!/3ᵏ → 比判定法：L = lim (k + 1)/3 = ∞ なので発散します。

C: Σ (1/2)ᵏ → r = 1/2 の等比級数で |r| < 1：収束します。

D: Σ 1/(k(k + 1)) → 1/k² より小さい：比較により収束します。

答え

B: Σ k!/3ᵏ

答え

B: Σ k!/3ᵏ

4.数列と級数

答え: |R₄| = 0.0004294

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

導関数の評価

M = e^0.5 = 1.649

ラグランジュの評価

|R₄| ≤ 1.649·0.5⁵/5! = 0.0004294

答え

|R₄| = 0.0004294

真の誤差はもっと小さくなります：|f(0.5) − P₄(0.5)| = 0.0002838。

5.多変数の微分積分

答え: D_uf = 436.8

勾配：∇f = (f_x, f_y) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて D_uf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

その点での勾配

f_x = −2y²e^2xy → f_x(1, 2) = −436.8

f_y = −e^2xy(1 + 2xy) → f_y(1, 2) = −273

単位ベクトル

|v| = √((−3)² + 0²) = 3

u = (−1, 0)

内積

D_uf = (−436.8)·(−1) + (−273)·0 = 436.8

答え

D_uf = 436.8

6.多変数の微分積分

答え: B (2, −2)

臨界点と二重積分：臨界点では f_x = f_y = 0 です。D = f_xxf_yy − f_xy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ f_xx > 0 なら極小、D > 0 かつ f_xx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。

臨界点

f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解きましょう。

f_x = (3x² − 12) = 0

f_y = (2y + 4) = 0

(2, −2), (−2, −2)

2 階微分判定法

(2, −2): f_xx = 12, f_yy = 2, f_xy = 0, D = 24 → 極小

(−2, −2): f_xx = −12, f_yy = 2, f_xy = 0, D = −24 → 鞍点

その点

B (2, −2): 極小

答え

B (2, −2)

7.微分方程式

答え: y(1.5) = 0.3961

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

特性方程式の根

(r + 2)(r + 5) = 0 → r = −2, −5

初期値から求める定数

A + B = 4, −2A − 5B = 4

A = 8, B = −4

計算する

y(1.5) = 8·e⁻³ + (−4)·e^−7.5 = 0.3961

答え

y(1.5) = 0.3961

8.微分方程式

答え: t = 120.4 min

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

結果

m(t) = 20 + (−10)·e^−t/100

t について解く

e^−t/100 = (20 − 17)/(20 − 10) = 0.3

t = 100·ln(3.333) = 120.4 min

答え

t = 120.4 min

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