微積分学 2：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

多変数の微分積分

偏導関数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
勾配: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向微分: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
接平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
連鎖律: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
2 階微分判定法: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重積分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
極座標: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

解き方

偏導関数では、もう一方の変数を定数として扱い、1 変数の規則を使いましょう。
勾配の問題では、その点で ∇f = (f_x, f_y) を計算します。最も急な傾きには |∇f| を、方向微分には単位ベクトル u との ∇f·u を使います。
極値では f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解き、そのあとすべての点を D = f_xx·f_yy − f_xy² で分類します。
二重積分では、領域を描き、内側の限界が境界の曲線になるように順序（円板なら極座標）を選び、内側から先に積分します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.積分ふつう

I = ∫₀³ e^−x dx を計算しなさい。

f(x) = e^−x[0, 3]

I =

2.積分むずかしい

放物線 y = 9 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 9 − x²

A =

3.数列と級数ふつう

Σ_k=1^∞ (k!)²·5ᵏ/(2k)! に比判定法を適用してください。L = lim |a_k+1/a_k| を求めてください。

a_k = (k!)²·5ᵏ/(2k)!

L =

4.数列と級数むずかしい

f(x) = sin(−x) の 3 次のマクローリン多項式を使って、f(1.5) を近似してください。P₃(1.5) を答えてください。

f(x) = sin(−x)n = 3x = 1.5

P₃(1.5) =

5.多変数の微分積分ふつう

f(x, y) = −2xy² − 4x³ − 2y³ − 4xy について、(2, −2) での v = (−1, −1) の方向の方向微分 D_uf を求めてください。

f(x, y) = −2xy² − 4x³ − 2y³ − 4xyP = (2, −2)v = (−1, −1)

D_uf =

6.多変数の微分積分むずかしい

f(x, y) = x³ + y³ − 9xy の臨界点を求めて分類し、極小での f の値 f_min を答えてください。

f(x, y) = x³ + y³ − 9xy

f_min =

7.微分方程式ふつう

3 °C の缶ジュースを冷蔵庫から 30 °C の部屋に出します。 17 分後の温度は 23 °C です。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。定数 k を min⁻¹ で求めなさい。

T₀ = 3 °CT_a = 30 °CT(17) = 23 °C

k = min⁻¹

8.微分方程式むずかしい

系が t ≥ 0 で y″ + 3y′ + 11.25y = 11.25 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。y(0.25) を求めなさい。角度はラジアンとします。

y″ + 3y′ + 11.25y = 11.25y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.25) =

3溶液

1.積分

答え: I = 0.9502

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

原始関数

F(x) = e^−x/(−1)

上端と下端を代入する

I = (e⁻³ − 1)/(−1) = (0.04979 − 1)/(−1) = 0.9502

答え

I = 0.9502

2.積分

答え: A = 36

零点

9 − x² = 0 → x = ±3

積分する

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

答え

A = 36

3.数列と級数

答え: L = 1.25

連続する項の比

|a_k+1/a_k| = 5·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 5/4

結論

L = 1.25 > 1

答え

L = 1.25

L > 1 なので、級数は発散します。

4.数列と級数

答え: P₃(1.5) = −0.9375

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

マクローリン多項式

P₃(x) = −x + 0.1667x³

代入する

P₃(1.5) = −1.5 + 0.5625 = −0.9375

答え

P₃(1.5) = −0.9375

厳密な値は f(1.5) = −0.997495 です。項を増やすか、0 に近い点を取ると、誤差 −0.059995 は小さくなります。

5.多変数の微分積分

答え: D_uf = 45.25

勾配：∇f = (f_x, f_y) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて D_uf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

その点での勾配

f_x = −2y² − 12x² − 4y → f_x(2, −2) = −48

f_y = −4xy − 6y² − 4x → f_y(2, −2) = −16

単位ベクトル

|v| = √((−1)² + (−1)²) = 1.414

u = (−0.7071, −0.7071)

内積

D_uf = (−48)·(−0.7071) + (−16)·(−0.7071) = 45.25

答え

D_uf = 45.25

6.多変数の微分積分

答え: f_min = −27

臨界点と二重積分：臨界点では f_x = f_y = 0 です。D = f_xxf_yy − f_xy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ f_xx > 0 なら極小、D > 0 かつ f_xx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。

臨界点

f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解きましょう。

f_x = 3x² − 9y = 0

f_y = 3y² − 9x = 0

(0, 0), (3, 3)

2 階微分判定法

(0, 0): f_xx = 0, f_yy = 0, f_xy = −9, D = −81 → 鞍点

(3, 3): f_xx = 18, f_yy = 18, f_xy = −9, D = 243 → 極小

極値での値

f(3, 3) = −27

答え

f_min = −27

7.微分方程式

答え: k = 0.07941 min⁻¹

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

温度差の比

e^−17k = -7/-27

k について解く

k = ln(-27/-7)/17 = 0.07941 min⁻¹

答え

k = 0.07941 min⁻¹

8.微分方程式

答え: y(0.25) = 0.2629

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

定常値と根

y_ss = 1, r = −1.5 ± 3j

初期値から求める定数

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1.5A + 3B = 0 → B = −0.5

計算する

y(0.25) = 1·(1 − e^−0.375(cos 0.75 + 0.5·sin 0.75)) = 0.2629

答え

y(0.25) = 0.2629

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