公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
I = ∫₀π x·sin x dx（x はラジアン）を計算しなさい。
直線 y = 3x と放物線 y = x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。
べき級数 Σk=1∞ 25ᵏx²ᵏ/k の収束半径 R を求めてください。
f(x) = cos x を、x = 0.5 で 3 次のマクローリン多項式で近似します。M = 1 としてラグランジュの誤差評価 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! を使い、誤差の最大値 |R₃| を求めてください。
f(x, y) = 2 ln(x² + 2y²) について、点 (−1, 0.5) での f の変化率の最大値、つまり |∇f| を求めてください。
f(x, y) = −x² + 4xy − 2y² + 8x − 8y − 2 は (0, −2) に臨界点をもちます。そこでの判別式 D = fxxfyy − fxy² を計算してください。
y(0) = 2、y′(0) = -4 として y″ + 3y′ + 2y = 0 を解きなさい。y(1.5) を求めなさい。
y(0) = 5、y′(0) = 0（静止状態から放す）として y″ + 2y′ + 10y = 0 を解きなさい。y(0.25) を求めなさい。角度はラジアンとします。
答え: I = 3.142
部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。
答え: V = 101.8
回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。
答え: R = 0.2
収束：項が 0 に近づかなければ、級数は発散します（第 n 項判定法）。Σ1/kᵖ が収束するのは p > 1 のときだけで、Σrᵏ が収束するのは |r| < 1 のときだけです。k が大きいときに項がこれらと同じようにふるまうなら、級数をこれらと比較します。比判定法：L = lim |ak+1/ak|、根判定法：L = lim |ak|1/k。L < 1 なら収束、L > 1 なら発散、L = 1 なら何も決まりません。べき級数 Σck(x − x₀)ᵏ は |x − x₀| < R で収束し、R = lim |ck/ck+1| です。項が 0 に減少していく交代級数は収束します。
比判定法は 2 つの端点については何も教えてくれません。別に調べる必要があります。
答え: |R₃| = 0.002604
テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。
真の誤差はもっと小さくなります：|f(0.5) − P₃(0.5)| = 0.002583。
答え: |∇f| = 3.771
勾配：∇f = (fx, fy) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて Duf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt。
答え: D = −8
臨界点と二重積分：臨界点では fx = fy = 0 です。D = fxxfyy − fxy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ fxx > 0 なら極小、D > 0 かつ fxx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。
答え: y(1.5) = 0.09957
2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = ert とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·er₁t + B·er₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·ert（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 の形に書くと、ωn は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。
答え: y(0.25) = 3.734
2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = ert とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·er₁t + B·er₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·ert（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 の形に書くと、ωn は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。
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