微積分学 2：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

多変数の微分積分

偏導関数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
勾配: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向微分: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
接平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
連鎖律: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
2 階微分判定法: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重積分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
極座標: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

解き方

偏導関数では、もう一方の変数を定数として扱い、1 変数の規則を使いましょう。
勾配の問題では、その点で ∇f = (f_x, f_y) を計算します。最も急な傾きには |∇f| を、方向微分には単位ベクトル u との ∇f·u を使います。
極値では f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解き、そのあとすべての点を D = f_xx·f_yy − f_xy² で分類します。
二重積分では、領域を描き、内側の限界が境界の曲線になるように順序（円板なら極座標）を選び、内側から先に積分します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.積分ふつう

I = ∫₀^π x·sin x dx（x はラジアン）を計算しなさい。

∫₀^π x·sin x dx

I =

2.積分むずかしい

放物線 y = 1 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 1 − x²

A =

3.数列と級数ふつう

4 つの級数のうち、ちょうど 1 つが収束します。それをクリックしてください。

A: Σ k!/10ᵏB: Σ (1/3)ᵏC: Σ (k + 1)/k²D: Σ (7/4)ᵏ

1A: Σ k!/10ᵏ
2B: Σ (1/3)ᵏ
3C: Σ (k + 1)/k²
4D: Σ (7/4)ᵏ

4.数列と級数むずかしい

a = 2 のまわりでの f(x) = 1/x のテイラー級数で、(x − 2)² の係数 c₂ を求めてください。

f(x) = 1/xa = 2k = 2

c₂ =

5.多変数の微分積分ふつう

f(x, y) = −4xy² − 3x³ + 3y² − 3xy の (1, 3) での接平面を使って、f(1.2, 3.05) を近似してください。線形近似 L を答えてください。

f(x, y) = −4xy² − 3x³ + 3y² − 3xy(a, b) = (1, 3)(x, y) = (1.2, 3.05)

L =

6.多変数の微分積分むずかしい

積分 I = ∫₀² ∫_x² sin(y²) dy dx は、この順序では計算できません。積分の順序を入れ替えて計算してください。

f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 2

I =

7.微分方程式ふつう

y(0) = 2、y′(0) = -1 として y″ + 6y′ + 9y = 0 を解きなさい。y(0.5) を求めなさい。

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 2y′(0) = -1

y(0.5) =

8.微分方程式むずかしい

y(0) = 2、y′(0) = 0（静止状態から放す）として y″ + 3y′ + 11.25y = 0 を解きなさい。y(0.25) を求めなさい。角度はラジアンとします。

y″ + 3y′ + 11.25y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(0.25) =

3溶液

1.積分

答え: I = 3.142

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

原始関数

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

極限

(−π·cos π + sin π) − (0 + 0) = 3.142

答え

I = 3.142

2.積分

答え: A = 1.333

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

零点

1 − x² = 0 → x = ±1

積分する

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

答え

A = 1.333

3.数列と級数

答え: B: Σ (1/3)ᵏ

各級数を判定する

A: Σ k!/10ᵏ → 比判定法：L = lim (k + 1)/10 = ∞ なので発散します。

B: Σ (1/3)ᵏ → r = 1/3 の等比級数で |r| < 1：収束します。

C: Σ (k + 1)/k² → k が大きいと 1/k のようにふるまいます：調和級数との比較により発散します。

D: Σ (7/4)ᵏ → r = 7/4 > 1 の等比級数：項が大きくなるので発散します。

答え

B: Σ (1/3)ᵏ

答え

B: Σ (1/3)ᵏ

4.数列と級数

答え: c₂ = 0.125

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

導関数 f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = 2/x³

係数

c₂ = 2/(2³·2) = 0.125

c₂ = 0.125

答え

c₂ = 0.125

5.多変数の微分積分

答え: L = −32.25

勾配：∇f = (f_x, f_y) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて D_uf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

その点での値と傾き

f(1, 3) = −21

f_x = −4y² − 9x² − 3y → f_x(1, 3) = −54

f_y = −8xy + 6y − 3x → f_y(1, 3) = −9

接平面

z = −21 − 54(x − 1) − 9(y − 3)

z = −54x − 9y + 60

線形近似

L = −21 + (−54)·0.2 + (−9)·0.05 = −32.25

答え

L = −32.25

厳密な値は f = −32.9085 です。ステップが小さいので、平面は近い値になります。

6.多変数の微分積分

答え: I = 0.8268

臨界点と二重積分：臨界点では f_x = f_y = 0 です。D = f_xxf_yy − f_xy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ f_xx > 0 なら極小、D > 0 かつ f_xx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。

領域

0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 2

順序の入れ替え

I = ∫₀² ∫₀^y sin(y²) dx dy = ∫₀² y·sin(y²) dy

置換 u = y²

I = [−cos(y²)/2]₀² = 0.8268

答え

I = 0.8268

7.微分方程式

答え: y(0.5) = 1.004

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

重根

(r + 3)² = 0 → r = −3

定数

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 3A → B = -1 + 6 = 5

計算する

y(0.5) = (2 + 5·0.5)·e^−1.5 = 1.004

答え

y(0.5) = 1.004

8.微分方程式

答え: y(0.25) = 1.474

複素根

r = −1.5 ± 3j

定数

A = 2, B = 1.5·2/3 = 1

計算する

y(0.25) = e^−0.375(2·cos 0.75 + 1·sin 0.75) = 1.474

答え

y(0.25) = 1.474

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