微積分学 2：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

多変数の微分積分

偏導関数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
勾配: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向微分: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
接平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
連鎖律: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
2 階微分判定法: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重積分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
極座標: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

解き方

偏導関数では、もう一方の変数を定数として扱い、1 変数の規則を使いましょう。
勾配の問題では、その点で ∇f = (f_x, f_y) を計算します。最も急な傾きには |∇f| を、方向微分には単位ベクトル u との ∇f·u を使います。
極値では f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解き、そのあとすべての点を D = f_xx·f_yy − f_xy² で分類します。
二重積分では、領域を描き、内側の限界が境界の曲線になるように順序（円板なら極座標）を選び、内側から先に積分します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.積分ふつう

I = ∫₀^π/3 x·cos x dx（x はラジアン）を計算しなさい。

∫₀^π/3 x·cos x dx

I =

2.積分むずかしい

直線 y = 6x と放物線 y = 3x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。

y = 6xy = 3x²

V =

3.数列と級数ふつう

Σ_k=1^∞ (k!)²·1ᵏ/(2k)! に比判定法を適用してください。L = lim |a_k+1/a_k| を求めてください。

a_k = (k!)²·1ᵏ/(2k)!

L =

4.数列と級数むずかしい

f(x) = cos x を、x = 1 で n 次のマクローリン多項式により近似します。M = 1 としてラグランジュの誤差評価 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! を使い、誤差が 1 × 10⁻⁶ 未満になることを保証する最小の次数 n を求めてください。

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

n =

5.多変数の微分積分ふつう

(x, y) = (−2, 1) の点での z = 5x³y³ + 3x² − 4y² + 4xy の接平面は、z = px + qy + c と書けます。c を求めてください。

f(x, y) = 5x³y³ + 3x² − 4y² + 4xy(a, b) = (−2, 1)

c =

6.多変数の微分積分むずかしい

印の付いた点は、f(x, y) = x³ + y³ + 6xy の臨界点です。鞍点をクリックしてください。

f(x, y) = x³ + y³ + 6xy

1A (−2, −2)
2B (0, 0)

7.微分方程式ふつう

y(0) = 3、y′(0) = 6 として y″ + 8y′ + 15y = 0 を解きなさい。y(0.5) を求めなさい。

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 3y′(0) = 6

y(0.5) =

8.微分方程式むずかしい

系が t ≥ 0 で y″ + 4y′ + 20y = 200 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。y(1) を求めなさい。角度はラジアンとします。

y″ + 4y′ + 20y = 200y(0) = 0y′(0) = 0

y(1) =

3溶液

1.積分

答え: I = 0.4069

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

原始関数

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

極限

(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0.4069

答え

I = 0.4069

2.積分

答え: V = 120.6

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

交点

6x = 3x² → x = 0, x = 2

ワッシャー法

V = π∫₀² ((6x)² − (3x²)²) dx

積分する

V = π(36·2³/3 − 9·2⁵/5) = π·38.4 = 120.6

答え

V = 120.6

3.数列と級数

答え: L = 0.25

連続する項の比

|a_k+1/a_k| = 1·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 1/4

結論

L = 0.25 < 1

答え

L = 0.25

L < 1 なので、級数は収束します。

4.数列と級数

答え: n = 9

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

n を増やしたときの評価値

n = 8: 2.756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶

n = 9: 2.756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

最小の次数

n = 9

答え

n = 9

5.多変数の微分積分

答え: c = 200

勾配：∇f = (f_x, f_y) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて D_uf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

その点での値と傾き

f(−2, 1) = −40

f_x = 15x²y³ + 6x + 4y → f_x(−2, 1) = 52

f_y = 15x³y² − 8y + 4x → f_y(−2, 1) = −136

接平面

z = −40 + 52(x + 2) − 136(y − 1)

z = 52x − 136y + 200

定数項

c = 200

答え

c = 200

6.多変数の微分積分

答え: B (0, 0)

臨界点と二重積分：臨界点では f_x = f_y = 0 です。D = f_xxf_yy − f_xy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ f_xx > 0 なら極小、D > 0 かつ f_xx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。

臨界点

f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解きましょう。

f_x = 3x² + 6y = 0

f_y = 3y² + 6x = 0

(0, 0), (−2, −2)

2 階微分判定法

(0, 0): f_xx = 0, f_yy = 0, f_xy = 6, D = −36 → 鞍点

(−2, −2): f_xx = −12, f_yy = −12, f_xy = 6, D = 108 → 極大

その点

B (0, 0): 鞍点

答え

B (0, 0)

7.微分方程式

答え: y(0.5) = 1.727

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

特性方程式の根

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

初期値から求める定数

A + B = 3, −3A − 5B = 6

A = 10.5, B = −7.5

計算する

y(0.5) = 10.5·e^−1.5 + (−7.5)·e^−2.5 = 1.727

答え

y(0.5) = 1.727

8.微分方程式

答え: y(1) = 11.4

定常値と根

y_ss = 10, r = −2 ± 4j

初期値から求める定数

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −2A + 4B = 0 → B = −5

計算する

y(1) = 10·(1 − e⁻²(cos 4 + 0.5·sin 4)) = 11.4

答え

y(1) = 11.4

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