微積分学 2：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

多変数の微分積分

偏導関数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
勾配: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向微分: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
接平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
連鎖律: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
2 階微分判定法: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重積分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
極座標: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

解き方

偏導関数では、もう一方の変数を定数として扱い、1 変数の規則を使いましょう。
勾配の問題では、その点で ∇f = (f_x, f_y) を計算します。最も急な傾きには |∇f| を、方向微分には単位ベクトル u との ∇f·u を使います。
極値では f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解き、そのあとすべての点を D = f_xx·f_yy − f_xy² で分類します。
二重積分では、領域を描き、内側の限界が境界の曲線になるように順序（円板なら極座標）を選び、内側から先に積分します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.積分ふつう

I = ∫₁⁴ x·ln x dx を計算しなさい。

∫₁⁴ x ln x dx

I =

2.積分むずかしい

直線 y = 2x と放物線 y = 0.5x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。

y = 2xy = 0.5x²

V =

3.数列と級数ふつう

べき級数 Σ_k=1^∞ k·5ᵏ·(x − 1)ᵏ の収束半径 R を求めてください。

Σ k·5ᵏ·(x − 1)ᵏx₀ = 1

R =

4.数列と級数むずかしい

級数を見抜いて、その和を求めましょう：S = Σ_k=1^∞ (−1)^k+1/k。

a_k = (−1)^k+1/k

S =

5.多変数の微分積分ふつう

(x, y) = (2, 1) の点での z = 3xy² + 2x² − 4y² − 4xy の接平面は、z = px + qy + c と書けます。c を求めてください。

f(x, y) = 3xy² + 2x² − 4y² − 4xy(a, b) = (2, 1)

c =

6.多変数の微分積分むずかしい

積分 I = ∫₀² ∫_y² 1/(1 + x²)² dx dy は、この順序では計算できません。積分の順序を入れ替えて計算してください。

f = 1/(1 + x²)²0 ≤ y ≤ x ≤ 2

I =

7.微分方程式ふつう

y(0) = 1、y′(0) = 4 として y″ + 5y′ + 6y = 0 を解きなさい。y(1.5) を求めなさい。

y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 1y′(0) = 4

y(1.5) =

8.微分方程式むずかしい

系が t ≥ 0 で y″ + 4y′ + 8y = 8 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。y(0.75) を求めなさい。角度はラジアンとします。

y″ + 4y′ + 8y = 8y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.75) =

3溶液

1.積分

答え: I = 7.34

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

原始関数

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

極限

(8·ln 4 − 4) − (0 − 0.25) = 7.34

答え

I = 7.34

2.積分

答え: V = 107.2

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

交点

2x = 0.5x² → x = 0, x = 4

ワッシャー法

V = π∫₀⁴ ((2x)² − (0.5x²)²) dx

積分する

V = π(4·4³/3 − 0.25·4⁵/5) = π·34.13 = 107.2

答え

V = 107.2

3.数列と級数

答え: R = 0.2

係数

c_k/c_k+1 = (1/5)·(k/(k + 1)) → 1/5

半径

R = 0.2

答え

R = 0.2

比判定法は 2 つの端点については何も教えてくれません。別に調べる必要があります。

4.数列と級数

答え: S = 0.6931

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

標準的な級数

Σ (−1)^k+1xᵏ/k = ln(1 + x)

代入する

x = 1

S = ln 2 = 0.6931

答え

S = 0.6931

5.多変数の微分積分

答え: c = −8

勾配：∇f = (f_x, f_y) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて D_uf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

その点での値と傾き

f(2, 1) = 2

f_x = 3y² + 4x − 4y → f_x(2, 1) = 7

f_y = 6xy − 8y − 4x → f_y(2, 1) = −4

接平面

z = 2 + 7(x − 2) − 4(y − 1)

z = 7x − 4y − 8

定数項

c = −8

答え

c = −8

6.多変数の微分積分

答え: I = 0.4

臨界点と二重積分：臨界点では f_x = f_y = 0 です。D = f_xxf_yy − f_xy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ f_xx > 0 なら極小、D > 0 かつ f_xx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。

領域

0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 2

順序の入れ替え

I = ∫₀² ∫₀^x 1/(1 + x²)² dy dx = ∫₀² x·1/(1 + x²)² dx

置換 u = x²

I = [−1/(2(1 + x²))]₀² = 0.4

答え

I = 0.4

7.微分方程式

答え: y(1.5) = 0.2819

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

特性方程式の根

(r + 2)(r + 3) = 0 → r = −2, −3

初期値から求める定数

A + B = 1, −2A − 3B = 4

A = 7, B = −6

計算する

y(1.5) = 7·e⁻³ + (−6)·e^−4.5 = 0.2819

答え

y(1.5) = 0.2819

8.微分方程式

答え: y(0.75) = 0.7616

定常値と根

y_ss = 1, r = −2 ± 2j

初期値から求める定数

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −2A + 2B = 0 → B = −1

計算する

y(0.75) = 1·(1 − e^−1.5(cos 1.5 + 1·sin 1.5)) = 0.7616

答え

y(0.75) = 0.7616

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