微積分学 2：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

多変数の微分積分

偏導関数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
勾配: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向微分: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
接平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
連鎖律: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
2 階微分判定法: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重積分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
極座標: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

解き方

偏導関数では、もう一方の変数を定数として扱い、1 変数の規則を使いましょう。
勾配の問題では、その点で ∇f = (f_x, f_y) を計算します。最も急な傾きには |∇f| を、方向微分には単位ベクトル u との ∇f·u を使います。
極値では f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解き、そのあとすべての点を D = f_xx·f_yy − f_xy² で分類します。
二重積分では、領域を描き、内側の限界が境界の曲線になるように順序（円板なら極座標）を選び、内側から先に積分します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.積分ふつう

y = 0.5x の下の x = 0 から x = 2 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（円錐）の体積 V を求めなさい。

y = 0.5x0 ≤ x ≤ 2

V =

2.積分むずかしい

直線 y = 4x と放物線 y = x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。

y = 4xy = x²

V =

3.数列と級数ふつう

和 S = Σ_k=1^∞ 6/(k(k + 1)) を求めてください。

a_k = 6/(k(k + 1))

S =

4.数列と級数むずかしい

f(x) = ln(1 − x) の 2 次のマクローリン多項式を使って、f(−0.4) を近似してください。P₂(−0.4) を答えてください。

f(x) = ln(1 − x)n = 2x = −0.4

P₂(−0.4) =

5.多変数の微分積分ふつう

f(x, y) = 4x³y − 5x² − 5y³ + 4xy について、P(1, −2) から Q(5, −3) へ向かう方向の方向微分 D_uf を求めてください。

f(x, y) = 4x³y − 5x² − 5y³ + 4xyP = (1, −2)Q = (5, −3)

D_uf =

6.多変数の微分積分むずかしい

f(x, y) = x³ − 12x + y² − 4y は (−2, 2) に臨界点をもちます。そこでの判別式 D = f_xxf_yy − f_xy² を計算してください。

f(x, y) = x³ − 12x + y² − 4yP = (−2, 2)

D =

7.微分方程式ふつう

y(0) = 4、y′(0) = 4 として y″ + 6y′ + 8y = 0 を解きなさい。y(2) を求めなさい。

y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 4y′(0) = 4

y(2) =

8.微分方程式むずかしい

系が t ≥ 0 で y″ + 2y′ + 17y = 170 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。ステップ応答のピーク値 y_max を求めなさい。

y″ + 2y′ + 17y = 170y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3溶液

1.積分

答え: V = 2.094

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

円板法

V = π∫₀² 0.25x² dx

積分する

V = π·0.25·2³/3 = 2.094

答え

V = 2.094

確認：半径 1、高さ 2 の円錐は (1/3)πr²h = 2.094 です。

2.積分

答え: V = 428.9

交点

4x = 1x² → x = 0, x = 4

ワッシャー法

V = π∫₀⁴ ((4x)² − (1x²)²) dx

積分する

V = π(16·4³/3 − 1·4⁵/5) = π·136.5 = 428.9

答え

V = 428.9

3.数列と級数

答え: S = 6

部分分数展開

6/(k(k + 1)) = 6·(1/k − 1/(k + 1))

キャンセル

S = 6·1 = 6

答え

S = 6

4.数列と級数

答え: P₂(−0.4) = 0.32

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

マクローリン多項式

P₂(x) = −x − 0.5x²

代入する

P₂(−0.4) = 0.4 − 0.08 = 0.32

答え

P₂(−0.4) = 0.32

厳密な値は f(−0.4) = 0.336472 です。項を増やすか、0 に近い点を取ると、誤差 0.0164722 は小さくなります。

5.多変数の微分積分

答え: D_uf = −28.13

勾配：∇f = (f_x, f_y) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて D_uf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

その点での勾配

f_x = 12x²y − 10x + 4y → f_x(1, −2) = −42

f_y = 4x³ − 15y² + 4x → f_y(1, −2) = −52

単位ベクトル

|v| = √(4² + (−1)²) = 4.123

u = (0.9701, −0.2425)

内積

D_uf = (−42)·0.9701 + (−52)·(−0.2425) = −28.13

答え

D_uf = −28.13

6.多変数の微分積分

答え: D = −24

臨界点と二重積分：臨界点では f_x = f_y = 0 です。D = f_xxf_yy − f_xy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ f_xx > 0 なら極小、D > 0 かつ f_xx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。

2 階偏導関数

f_xx = −12, f_yy = 2, f_xy = 0

判別式

D = (−12)·2 − 0² = −24

→ 鞍点

答え

D = −24

7.微分方程式

答え: y(2) = 0.1811

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

特性方程式の根

(r + 2)(r + 4) = 0 → r = −2, −4

初期値から求める定数

A + B = 4, −2A − 4B = 4

A = 10, B = −6

計算する

y(2) = 10·e⁻⁴ + (−6)·e⁻⁸ = 0.1811

答え

y(2) = 0.1811

8.微分方程式

答え: y_max = 14.56

定常値と根

y_ss = 10, r = −1 ± 4j

初期値から求める定数

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −1A + 4B = 0 → B = −2.5

ピーク

t = π/4 = 0.7854

y_max = 10·(1 + e^−1·π/4) = 14.56

答え

y_max = 14.56

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