微積分学 2：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

多変数の微分積分

偏導関数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
勾配: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向微分: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
接平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
連鎖律: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
2 階微分判定法: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重積分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
極座標: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

解き方

偏導関数では、もう一方の変数を定数として扱い、1 変数の規則を使いましょう。
勾配の問題では、その点で ∇f = (f_x, f_y) を計算します。最も急な傾きには |∇f| を、方向微分には単位ベクトル u との ∇f·u を使います。
極値では f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解き、そのあとすべての点を D = f_xx·f_yy − f_xy² で分類します。
二重積分では、領域を描き、内側の限界が境界の曲線になるように順序（円板なら極座標）を選び、内側から先に積分します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.積分ふつう

I = ∫₁⁵ x·ln x dx を計算しなさい。

∫₁⁵ x ln x dx

I =

2.積分むずかしい

y = 2x² と y = 3x で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 2x²y = 3x

A =

3.数列と級数ふつう

Σ_k=1^∞ kᵏ/(5ᵏ·k!) に比判定法を適用してください。L = lim |a_k+1/a_k| を求めてください。

a_k = kᵏ/(5ᵏ·k!)

L =

4.数列と級数むずかしい

級数を見抜いて、その和を求めましょう：S = Σ_k=1^∞ (−1)^k+1·0.2ᵏ/k。

a_k = (−1)^k+1·0.2ᵏ/k

S =

5.多変数の微分積分ふつう

f(x, y) = sin(−x − 2y) について、P(0.5, 1) から Q(−1.5, −2) へ向かう方向の方向微分 D_uf を求めてください。

f(x, y) = sin(−x − 2y)P = (0.5, 1)Q = (−1.5, −2)

D_uf =

6.多変数の微分積分むずかしい

極座標を使って、I = ∬_R x dA を計算してください。R は円板 x² + y² ≤ 9 の第 1 象限の 4 分の 1 です。

f = x0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ π/2

I =

7.微分方程式ふつう

y(0) = 3、y′(0) = 4 として y″ + 8y′ + 16y = 0 を解きなさい。y(1) を求めなさい。

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 3y′(0) = 4

y(1) =

8.微分方程式むずかしい

系が t ≥ 0 で y″ + y′ + 16.25y = 32.5 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。y(1.5) を求めなさい。角度はラジアンとします。

y″ + y′ + 16.25y = 32.5y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

3溶液

1.積分

答え: I = 14.12

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

原始関数

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

極限

(12.5·ln 5 − 6.25) − (0 − 0.25) = 14.12

答え

I = 14.12

2.積分

答え: A = 1.125

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

交点

2x² = 3x → x = 0, x = 1.5

上から下を引いて積分する

A = [1.5x² − 0.6667x³]₀^1.5 = 1.125

答え

A = 1.125

3.数列と級数

答え: L = 0.5437

連続する項の比

|a_k+1/a_k| = (1 + 1/k)ᵏ/5 → e/5

結論

L = 0.5437 < 1

答え

L = 0.5437

L < 1 なので、級数は収束します。

4.数列と級数

答え: S = 0.1823

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

標準的な級数

Σ (−1)^k+1xᵏ/k = ln(1 + x)

代入する

x = 0.2

S = ln 1.2 = 0.1823

答え

S = 0.1823

5.多変数の微分積分

答え: D_uf = −1.778

勾配：∇f = (f_x, f_y) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて D_uf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

その点での勾配

f_x = −1 cos(−x − 2y) → f_x(0.5, 1) = 0.8011

f_y = −2 cos(−x − 2y) → f_y(0.5, 1) = 1.602

単位ベクトル

|v| = √((−2)² + (−3)²) = 3.606

u = (−0.5547, −0.8321)

内積

D_uf = 0.8011·(−0.5547) + 1.602·(−0.8321) = −1.778

答え

D_uf = −1.778

6.多変数の微分積分

答え: I = 9

臨界点と二重積分：臨界点では f_x = f_y = 0 です。D = f_xxf_yy − f_xy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ f_xx > 0 なら極小、D > 0 かつ f_xx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。

極形式

I = ∫₀^π/2 ∫₀³ r cos θ·r dr dθ

積分する

∫ r²dr·∫ cos θ dθ

I = 9

答え

I = 9

7.微分方程式

答え: y(1) = 0.348

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

重根

(r + 4)² = 0 → r = −4

定数

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 4A → B = 4 + 12 = 16

計算する

y(1) = (3 + 16·1)·e⁻⁴ = 0.348

答え

y(1) = 0.348

8.微分方程式

答え: y(1.5) = 1.126

定常値と根

y_ss = 2, r = −0.5 ± 4j

初期値から求める定数

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −0.5A + 4B = 0 → B = −0.25

計算する

y(1.5) = 2·(1 − e^−0.75(cos 6 + 0.125·sin 6)) = 1.126

答え

y(1.5) = 1.126

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