微積分学 2：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

多変数の微分積分

偏導関数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
勾配: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向微分: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
接平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
連鎖律: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
2 階微分判定法: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重積分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
極座標: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

解き方

偏導関数では、もう一方の変数を定数として扱い、1 変数の規則を使いましょう。
勾配の問題では、その点で ∇f = (f_x, f_y) を計算します。最も急な傾きには |∇f| を、方向微分には単位ベクトル u との ∇f·u を使います。
極値では f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解き、そのあとすべての点を D = f_xx·f_yy − f_xy² で分類します。
二重積分では、領域を描き、内側の限界が境界の曲線になるように順序（円板なら極座標）を選び、内側から先に積分します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.積分ふつう

I = ∫₀^π/2 x·cos x dx（x はラジアン）を計算しなさい。

∫₀^π/2 x·cos x dx

I =

2.積分むずかしい

直線 y = 6x と放物線 y = 2x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。

y = 6xy = 2x²

V =

3.数列と級数ふつう

4 つの級数のうち、ちょうど 1 つが収束します。それをクリックしてください。

A: Σ 3ᵏ/k³B: Σ 5/kC: Σ (5/4)ᵏD: Σ 1/k³

1A: Σ 3ᵏ/k³
2B: Σ 5/k
3C: Σ (5/4)ᵏ
4D: Σ 1/k³

4.数列と級数むずかしい

f(x) = eˣ を、x = 0.5 で n 次のマクローリン多項式により近似します。M = 2 としてラグランジュの誤差評価 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! を使い、誤差が 1 × 10⁻⁵ 未満になることを保証する最小の次数 n を求めてください。

f(x) = eˣx = 0.5M = 2ε = 1 × 10⁻⁵

n =

5.多変数の微分積分ふつう

z = −3x²y³ − x² − 5y² + 4xy、x = −t + 2、y = −t² です。連鎖律を使って、t = 1 での dz/dt を求めてください。

z = −3x²y³ − x² − 5y² + 4xyx = −t + 2y = −t²t = 1

dz/dt =

6.多変数の微分積分むずかしい

積分 I = ∫₀^1.5 ∫_x^1.5 1/(1 + y²)² dy dx は、この順序では計算できません。積分の順序を入れ替えて計算してください。

f = 1/(1 + y²)²0 ≤ x ≤ y ≤ 1.5

I =

7.微分方程式ふつう

91 °C のコーヒーを 21 °C の部屋に置いておきます。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。 k = 0.09 min⁻¹ として、21 分後の温度 T を求めなさい。

T₀ = 91 °CT_a = 21 °Ck = 0.09 min⁻¹t = 21 min

T = °C

8.微分方程式むずかしい

タンクに、塩 5 kg を溶かした水が 200 L 入っています。 1 L あたり 0.2 kg の塩を含む塩水が 10 L/min で流入し、よく混ざった溶液が同じ流量で流出します。 30 分後にタンク内にある塩の量 m を求めなさい。

V = 200 Lm₀ = 5 kgc = 0.2 kg/Lr = 10 L/min

m = kg

3溶液

1.積分

答え: I = 0.5708

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

原始関数

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

極限

(π/2·sin π/2 + cos π/2) − (0 + 1) = 0.5708

答え

I = 0.5708

2.積分

答え: V = 407.2

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

交点

6x = 2x² → x = 0, x = 3

ワッシャー法

V = π∫₀³ ((6x)² − (2x²)²) dx

積分する

V = π(36·3³/3 − 4·3⁵/5) = π·129.6 = 407.2

答え

V = 407.2

3.数列と級数

答え: D: Σ 1/k³

各級数を判定する

A: Σ 3ᵏ/k³ → 比判定法：L = 3 > 1 なので発散します。

B: Σ 5/k → 調和級数（p = 1）の定数倍：発散します。

C: Σ (5/4)ᵏ → r = 5/4 > 1 の等比級数：項が大きくなるので発散します。

D: Σ 1/k³ → p = 3 > 1 の p 級数：収束します。

答え

D: Σ 1/k³

答え

D: Σ 1/k³

4.数列と級数

答え: n = 6

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

n を増やしたときの評価値

n = 5: 4.34 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵

n = 6: 3.1 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

最小の次数

n = 6

答え

n = 6

5.多変数の微分積分

答え: dz/dt = −10

勾配：∇f = (f_x, f_y) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて D_uf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

点と変化率

x(1) = 1, y(1) = −1

dx/dt = −1, dy/dt = −2t = −2

偏導関数

f_x = −6xy³ − 2x + 4y = 0

f_y = −9x²y² − 10y + 4x = 5

連鎖律

dz/dt = 0·(−1) + 5·(−2) = −10

答え

dz/dt = −10

6.多変数の微分積分

答え: I = 0.3462

臨界点と二重積分：臨界点では f_x = f_y = 0 です。D = f_xxf_yy − f_xy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ f_xx > 0 なら極小、D > 0 かつ f_xx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。

領域

0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1.5

順序の入れ替え

I = ∫₀^1.5 ∫₀^y 1/(1 + y²)² dx dy = ∫₀^1.5 y·1/(1 + y²)² dy

置換 u = y²

I = [−1/(2(1 + y²))]₀^1.5 = 0.3462

答え

I = 0.3462

7.微分方程式

答え: T = 31.58 °C

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

冷却法則の解

T(t) = 21 + 70·e^−0.09t

t を代入する

T(21) = 21 + 70·0.1511 = 31.58 °C

答え

T = 31.58 °C

8.微分方程式

答え: m = 32.19 kg

方程式を立てる

dm/dt = 10·0.2 − (10/200)·m = 2 − 0.05·m

解く

積分因子は e^rt/V で、解は平衡量 c·V に近づきます。

m(t) = 40 + (−35)·e^−t/20

t を代入する

m(30) = 40 + (−35)·0.2231 = 32.19 kg

答え

m = 32.19 kg

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