公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
8 年後に €15 000 が必要です。口座の利率は年 6%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
9 年間、毎月末に €100 を積み立てます。口座の利率は年 4.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
あるプロジェクトの費用は今日 €20 000 で、5 年間、毎年末に €7 000 を生みます。資本コストは 12% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
プロジェクト A の費用は €40 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €22 500, €15 500, €9 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €50 000 で、€14 500, €21 000, €25 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。
最終利回りが 9% のときに、残存期間 7 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 2%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 10.5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
残存期間 13 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 7%）が €1 137 で売られています。発行者は 3 年後に €1 070 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。
ある企業は時価 €8 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 7%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。
ある会社の株主資本の時価は €15 000 000、株主資本コストは 9% です。負債は 5 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 5%、残存期間 5 年）からなり、1 枚 €958 で取引されています。税率は 20% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
データの標本標準偏差 s を求めなさい：12, 30, 56, 53, 37, 42, 26。
試験の点数は平均 100、標準偏差 20 の正規分布に従います。80 点の z スコア z を求めなさい。
示された分布について、X の標準偏差 σ を求めなさい。
ゲームの参加費は €10 です。確率 0.1 で €20、確率 0.05 で €500 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
ボルト の質量は互いに独立で、平均 40 g、標準偏差 1.2 g の正規分布に従います。そのうち 16 個の合計質量が 647.2 g を下回る確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。全体の 80% がそれより下にある値 x（第 80 パーセンタイル）を求めなさい。
12 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は 2.2、標準偏差は 5.9 です。 差の平均の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。
母標準偏差は 38 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
学生 36 人の標本の平均点は 76.75、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。
ある臨床試験で、治療 A の患者 200 人中 70 人、治療 B の患者 250 人中 123 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 1.5 のときの ŷ を予測しなさい。
答え: PV = 9315 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
答え: FV = 13097 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
自分で払い込んだのは €10 800。残りは利息です。
答え: DPB = 3.716 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引回収期間は、常に単純回収期間（2.857 年）より長くなります。
答え: r* = 8.025 %
交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。
確認：8.025% では両方の NPV が €1 647.31 です。
答え: HPR = 1.154 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
答え: YTC = 4.274 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
最終利回りは 5.498% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。
答え: WACC = 10.89 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
答え: WACC = 7.983 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
答え: s = 15.47
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
答え: z = −1
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
答え: σ = 1.044
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
答え: E(G) = 17 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
正の値は、平均して得をすることを意味します。
答え: P = 0.9332
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
答え: x = 533.7 h
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
答え: 下限 = −0.8589 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
答え: n = 3908
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
答え: t = 2.1
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
|t| > 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
答え: z = −3.024
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
|z| > 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
答え: r = 0.9851
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
答え: ŷ = 29.23
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
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