公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
ある不動産は来年 €6 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 4% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 7% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
年 2.4%、月複利で €10 000 を借り、毎月末に €125 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。
ある機械の費用は今日 €50 000 です。3 年間、毎年末に €18 500 を生み、その後 €12 500 で売却できます。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
あるプロジェクトの費用は €40 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €12 000, €23 000, €22 500 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 10% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。
額面 €1 000 の債券が 4 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 3% のとき €1 037 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 5 年後に満期を迎え、€915 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
ある会社の株主資本の価値は €4 000 000、負債の価値は €2 000 000 です。WACC は 8.38%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 30% です。株主資本コスト re を求めなさい。
ある会社の株式は 2 000 000 株で、€41.50 で取引されています。株主資本の簿価は €41 500 000 です。1 株あたり €0.90 の配当を支払ったところで、配当は年 5% 成長します。負債の時価は €83 000 000、税引前コストは 3% です。税率は 28% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
データの標本標準偏差 s を求めなさい：49, 15, 17, 10, 32, 27。
試験の点数は平均 500、標準偏差 40 の正規分布に従います。540 点の z スコア z を求めなさい。
9 人のグループから 5 人の委員会を選ぶ方法 N は何通りですか？順序は問いません。
ゲームの参加費は €10 です。確率 0.15 で €40、確率 0.05 で €100 を獲得し、それ以外では何も獲得しません。賭け金は戻りません。1 ゲームあたりの純利得の期待値 E(G) を求めなさい。
箱 の質量は互いに独立で、平均 12 kg、標準偏差 0.8 kg の正規分布に従います。そのうち 9 個の合計質量が 104.4 kg を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。
電池の寿命 は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。色つきの下位 40% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。
16 個からなる標本の平均は 70、標準偏差は s = 17 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
母標準偏差は 18 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 3 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
学生 16 人の標本の平均点は 64.5、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。
α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 2.5 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 26 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 6 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
表は x = 気温 (°C) と y = アイスクリームの販売数 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 直線が ŷ = 127 と予測するのは、どの値 x のときですか？
答え: PV = 200000 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
答え: N = 88 回
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
87 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。
答え: NPV = 5398 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
答え: MIRR = 15.93 %
修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
答え: c = 3.995 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
答え: YTM = 6.019 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
答え: re = 11 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
答え: WACC = 4.719 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
答え: s = 14.27
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
答え: z = 1
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
答え: N = 126
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
答え: E(G) = 1 €
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
正の値は、平均して得をすることを意味します。
答え: P = 0.9332
正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。
答え: x = 490 h
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
答え: E = 9.057
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
答え: n = 98
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
答え: t = 2.9
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
|t| > 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
答え: n = 669
検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
答え: r = 0.9921
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
答え: x = 26.49
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
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