公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
クレジットカードの名目年利は 15%、半年複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
€15 000 のローンを、年 5.4%、月複利で 3 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
ある機械の費用は今日 €50 000 です。4 年間、毎年末に €15 500 を生み、その後 €7 500 で売却できます。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €13 000, €14 000, €9 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
最終利回りが 9% のときに、残存期間 10 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 8%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 9.5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 9 年後に満期を迎え、€1 165 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 10%、税引前負債コストは 3%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。
ある企業は1 株 €49.00 の株式 2 500 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 3%、税率は 25.8% です。株式のベータは 0.9、無リスク金利は 3.5%、市場収益率は 9% です。WACC を求めなさい。
データの標本標準偏差 s を求めなさい：59, 13, 25, 59, 35, 31。
ある量は平均 50、標準偏差 5 の正規分布に従います。60 より小さい値の割合 P はいくつですか？
公正なさいころを 3 回振ります。少なくとも 1 回 6 が出る確率 P はいくつですか？
X は示された分布をもち、Y = 0.5X − 3 です。Y の標準偏差 σY を求めなさい。
標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.8790 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。
IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点 の正規分布に従います。全体の 90% がそれより下にある値 x（第 90 パーセンタイル）を求めなさい。
21 個からなる標本の平均は 114、標準偏差は s = 17 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
母標準偏差は 22 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 4 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
学生 36 人の標本の平均点は 509.7、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。
16 回の測定の標本平均は 106.9 です。母標準偏差は 12 です。平均の 90% 信頼区間の上限 U を求めなさい。
表は x = 広告費（k€） と y = 売上高（k€） の 5 組の対になった観測値を示しています。 それらの和が与えられています。これらの和からピアソンの相関係数 r を求めなさい。
表は x = 勉強時間 と y = 試験の得点 の 5 組の対になった観測値を示しています。 最小二乗直線 ŷ = a + b·x を用います。 x = 1.5 のときの ŷ を予測しなさい。
答え: EAR = 15.56 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
答え: I = 1281 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
答え: NPV = 6851 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
答え: IRR = 22.05 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
答え: HPR = 5.989 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
答え: YTM = 1.98 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
答え: WACC = 5.611 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
答え: WACC = 8.215 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
答え: s = 18.59
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
答え: P = 0.9772
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
答え: P = 0.4213
確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
答え: σY = 0.5761
離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σY = |a|·σX となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。
平均は変化します：E(Y) = 0.5·3.85 − 3 = −1.075。
答え: z = −1.17
面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。
表の中で 0.1210 を見つけ、z を読み取ります。
答え: x = 119.2 点
正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。
答え: E = 10.55
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
答え: n = 201
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
答え: t = 2.91
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
|t| > 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
答え: U = 111.8
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
答え: r = 0.9887
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
答え: ŷ = 51.7
最小二乗回帰：x̄ と ȳ を平均とし、Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)²、Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) とすると、直線 ŷ = a + b·x の傾きは b = Sxy/Sxx、切片は a = ȳ − b·x̄ なので、この直線は必ず (x̄, ȳ) を通ります。ピアソンの相関係数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) は −1 から 1 の間の値をとります。r² は y の変動のうち直線で説明される割合です。
これは独自の練習教材です。ExamProblems はこの試験を実施する団体とは提携しておらず、その承認も受けていません。試験名は内容を説明するためにのみ使用しています。 CFA® and Chartered Financial Analyst®はCFA Instituteの商標です。同団体はExamProblemsと提携しておらず、推奨も正確性の保証もしていません。
ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income