反応工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

反応速度論

1 次
ln(CA/CA0) = −kt
半減期（1 次）
t½ = ln 2/k
2 次
1/CA = 1/CA0 + kt
アレニウス
k = A·e−Ea/(RT)
2 つの温度
ln(k2/k1) = (Ea/R)(1/T1 − 1/T2)

反応器の設計（CSTR と PFR）

空間時間
τ = V/Q
CSTR、1 次反応
τ = X/(k·(1 − X)), CA = CA0/(1 + kτ)
PFR、1 次反応
τ = ln(1/(1 − X))/k, CA = CA0·e−kτ
体積から求める反応率
CSTR: X = kτ/(1 + kτ), PFR: X = 1 − e−kτ
直列につないだ N 個の等しい CSTR
X = 1 − 1/(1 + kτi)N

化学平衡

平衡定数
Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b)
ICE 表
初期、変化（×係数）、平衡
2 次方程式
x = (−b + √(b² − 4ac))/(2a)

解き方

  1. Kc は生成物を反応物で割った形で書き、それぞれを係数乗します。
  2. ICE 表をつくります：初期（Initial）、変化（Change、x に係数を掛けた量）、平衡（Equilibrium）。
  3. 平衡時の式を Kc に代入し、x について解きます。
  4. 近似が使えるほど x が小さいか確認します。小さくなければ 2 次方程式を解きます。

物質収支

定常状態
入量 = 出量
全体収支
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
成分収支
ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
蒸発缶
F·xF = P·xP, W = F − P

2演習問題

1.反応速度論ふつう
t (min)C (mol/L)10 minC = ?

速度式 −rA = k·CA² の反応で k = 0.4 L/(mol·min)、初濃度は 1 mol/L である。10 min 後の濃度 CA を求めよ。

k = 0.4 L/(mol·min)CA0 = 1 mol/Lt = 10 min
CA = mol/L
2.反応速度論むずかしい
CA0​ (mol/L)r (mol/(L·s))実験 10.20.008実験 20.80.512n = ?

2 つの実験で A → 生成物の初速度を測定する。CA0 = 0.2 mol/L のとき反応速度は 0.008 mol/(L·s)、CA0 = 0.8 mol/L のとき 0.512 mol/(L·s) である。A に関する反応次数 n を求めよ。

CA0,1 = 0.2 mol/Lr1 = 0.008 mol/(L·s)CA0,2 = 0.8 mol/Lr2 = 0.512 mol/(L·s)
n =
3.反応器の設計（CSTR と PFR）ふつう
Q = 25 L/minCA0​ = 0.5 mol/LCA​ = ?V = 150 L, k = 0.08 min⁻¹

液相 1 次反応 A → B（k = 0.08 min⁻¹）を 150 L の押出し流れ反応器（PFR）で行う。 原料は 25 L/min、CA0 = 0.5 mol/L で供給される。密度は一定で、反応器は定常状態にある。出口濃度 CA を求めよ。

V = 150 LQ = 25 L/mink = 0.08 min⁻¹CA0 = 0.5 mol/L
CA = mol/L
4.反応器の設計（CSTR と PFR）むずかしい
V = 1500 LV = 1500 LQ = 100 L/minX = ?

液相 1 次反応（k = 0.12 min⁻¹）を、各 1500 L の等しい 2 つの CSTR を直列につないで行う。供給速度は 100 L/min、密度は一定で、反応器は定常状態にある。全体の反応率 X をパーセントで求めよ。

V = 1500 L (×2)Q = 100 L/mink = 0.12 min⁻¹
X = %
5.化学平衡ふつう
H2​I2​HII0.10.10C−x−x+2xE0.1 − x0.1 − x2x

0.1 mol/L の H₂ と 0.1 mol/L の I₂ を容器に入れると、H₂ + I₂ ⇌ 2HI の反応が起こる。Kc = 4 である。平衡濃度 [HI] を求めよ。

[H₂]₀ = [I₂]₀ = 0.1 mol/LKc = 4
[HI] = mol/L
6.化学平衡むずかしい
PCl5​PCl3​Cl2​I0.200C−x+x+xE0.2 − xxx

PCl₅ は PCl₅ ⇌ PCl₃ + Cl₂ のように分解し、反応温度で Kc = 0.2 である。容器には初め 0.2 mol/L の PCl₅ だけが入っている。平衡濃度 [Cl2] を求めよ。

[PCl₅]₀ = 0.2 mol/LKc = 0.2
[Cl2] = mol/L
7.物質収支ふつう
ミキサー流れ 1600 kg/h · 20% NaOH流れ 2ṁ₂ = ? · 40% NaOH製品35% NaOH

混合後の製品がNaOHを 35% 含むようにするには、流れ 1 に毎時どれだけ流れ 2 を加えればよいか。ṁ2 を求めよ。

ṁ1 = 600 kg/hx1 = 20 %x2 = 40 %x3 = 35 %
ṁ2 = kg/h
8.物質収支むずかしい
蒸発缶原料 F2900 kg/h · 13% 食塩製品 PP = ? · 45%蒸気 W（純水）0% 食塩

蒸発缶で純水を蒸発させ、食塩水溶液を濃縮する。製品流量 Pを kg/h で求めよ。

F = 2900 kg/hxF = 13 %xP = 45 %
P = kg/h

3溶液

1.反応速度論

答え: CA = 0.2 mol/L

反応速度：1 次反応では −dC/dt = kC なので C = C₀·e−kt、半減期 ln 2/k は濃度によりません。2 次反応では 1/C = 1/C₀ + kt。速度定数はアレニウスの式に従い温度とともに増加します：k = A·e−Ea/(RT)。

2 次の積分形速度式

1/CA = 1/CA0 + kt = 1 + 0.4·10 = 5 L/mol
CA = 1/5 = 0.2 mol/L

答え

CA = 0.2 mol/L
2.反応速度論

答え: n = 3

初速度法：r = k·Cⁿ について、初濃度だけが異なる 2 つの実験を比べると k が消えます：r₂/r₁ = (C₂/C₁)ⁿ。C を 2 倍にすると、1 次では反応速度が 2 倍、2 次では 4 倍になります。

比

r2/r1 = 0.512/0.008 = 64
C2/C1 = 0.8/0.2 = 4

次数

n = ln(64)/ln(4) = 3

答え

n = 3
3.反応器の設計（CSTR と PFR）

答え: CA = 0.3094 mol/L

理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。

空間時間

τ = V/Q = 150/25 = 6 min

出口濃度

CA = 0.5·e−0.08·6 = 0.3094 mol/L

答え

CA = 0.3094 mol/L

反応率：X = 38.12%。

4.反応器の設計（CSTR と PFR）

答え: X = 87.24 %

理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。

空間時間

τ = V/Q = 1500/100 = 15 min, kτ = 0.12·15 = 1.8

反応率

C1/CA0 = 1/(1 + kτ) = 1/(1 + 1.8) = 0.3571
C2/CA0 = 1/(1 + kτ)² = 0.1276
X = 1 − 0.1276 = 87.24%

答え

X = 87.24%
5.化学平衡

答え: [HI] = 0.1 mol/L

化学平衡：aA + bB ⇌ cC + dD に対して、平衡定数は Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b) で、平衡時の濃度を使います。ICE 表（初期・変化・平衡）は、係数倍した 1 つの未知数 x を通して、初めの量と平衡時の量を結びつけます。

平衡の式

4 = (2x)²/(0.1 − x)²

平方根をとる

2 = 2x/(0.1 − x) → x = 0.1·2/(2 + 2) = 0.05 mol/L

平衡濃度

[HI] = 2x = 0.1 mol/L

答え

[HI] = 0.1 mol/L
6.化学平衡

答え: [Cl2] = 0.1236 mol/L

化学平衡：aA + bB ⇌ cC + dD に対して、平衡定数は Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b) で、平衡時の濃度を使います。ICE 表（初期・変化・平衡）は、係数倍した 1 つの未知数 x を通して、初めの量と平衡時の量を結びつけます。

平衡の式

0.2 = x²/(0.2 − x) → x² + 0.2·x − 0.04 = 0

2 次方程式を解く

x = (−0.2 + √(0.2² + 4·0.04))/2 = 0.1236 mol/L

平衡濃度

[Cl₂] = x = 0.1236 mol/L

答え

[Cl2] = 0.1236 mol/L
7.物質収支

答え: ṁ2 = 1800 kg/h

定常状態の物質収支：全体と各成分で入量 = 出量。混合の問題では両方を組み合わせます。

収支

Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
NaOH: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3

ṁ2 について解く

ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 600·(20 − 35)/(35 − 40) = 1800 kg/h

答え

ṁ2 = 1800 kg/h
8.物質収支

答え: P = 837.8 kg/h

タイ成分：1 つの流れだけを変化せずに通る成分（ここでは溶質）は、流量どうしを直接結びつけます。残りは全体収支で求まります。

溶質収支

F·xF = P·xP → P = 2900·13/45 = 837.8 kg/h

答え

P = 837.8 kg/h

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