反応速度論
- 1 次
- ln(CA/CA0) = −kt
- 半減期（1 次）
- t½ = ln 2/k
- 2 次
- 1/CA = 1/CA0 + kt
- アレニウス
- k = A·e−Ea/(RT)
- 2 つの温度
- ln(k2/k1) = (Ea/R)(1/T1 − 1/T2)
反応工学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
反応器の設計（CSTR と PFR）
- 空間時間
- τ = V/Q
- CSTR、1 次反応
- τ = X/(k·(1 − X)), CA = CA0/(1 + kτ)
- PFR、1 次反応
- τ = ln(1/(1 − X))/k, CA = CA0·e−kτ
- 体積から求める反応率
- CSTR: X = kτ/(1 + kτ), PFR: X = 1 − e−kτ
- 直列につないだ N 個の等しい CSTR
- X = 1 − 1/(1 + kτi)N
化学平衡
- 平衡定数
- Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b)
- ICE 表
- 初期、変化（×係数）、平衡
- 2 次方程式
- x = (−b + √(b² − 4ac))/(2a)
解き方
- Kc は生成物を反応物で割った形で書き、それぞれを係数乗します。
- ICE 表をつくります：初期（Initial）、変化（Change、x に係数を掛けた量）、平衡（Equilibrium）。
- 平衡時の式を Kc に代入し、x について解きます。
- 近似が使えるほど x が小さいか確認します。小さくなければ 2 次方程式を解きます。
物質収支
- 定常状態
- 入量 = 出量
- 全体収支
- ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
- 成分収支
- ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
- 蒸発缶
- F·xF = P·xP, W = F − P
2演習問題
1.反応速度論ふつう
1 次反応で A の濃度が 5 min で 1.2 mol/L から 0.96 mol/L に減少する。速度定数 k を求めよ。
CA0 = 1.2 mol/LCA = 0.96 mol/Lt = 5 min
k = min⁻¹
2.反応速度論むずかしい
1 次反応の k は 25 °C で 0.01 min⁻¹、活性化エネルギーは 70 kJ/mol である。回分反応器を今度は 40 °C で 10 min 運転する。達成される反応率 X を求めよ。
k1 = 0.01 min⁻¹T1 = 25 °CEa = 70 kJ/molT2 = 40 °Ct = 10 minR = 8.314 J/(mol·K)
X = %
3.反応器の設計（CSTR と PFR）ふつう
液相 1 次反応 A → B（k = 0.2 min⁻¹）を 1000 L の押出し流れ反応器（PFR）で行う。 原料は 50 L/min、CA0 = 0.5 mol/L で供給される。密度は一定で、反応器は定常状態にある。出口濃度 CA を求めよ。
V = 1000 LQ = 50 L/mink = 0.2 min⁻¹CA0 = 0.5 mol/L
CA = mol/L
4.反応器の設計（CSTR と PFR）むずかしい
液相 1 次反応（k = 0.4 min⁻¹）を、各 500 L の等しい 2 つの CSTR を直列につないで行う。供給速度は 50 L/min、密度は一定で、反応器は定常状態にある。全体の反応率 X をパーセントで求めよ。
V = 500 L (×2)Q = 50 L/mink = 0.4 min⁻¹
X = %
5.化学平衡ふつう
0.4 mol/L の H₂ と 0.4 mol/L の I₂ を容器に入れると、H₂ + I₂ ⇌ 2HI の反応が起こる。Kc = 36 である。平衡濃度 [HI] を求めよ。
[H₂]₀ = [I₂]₀ = 0.4 mol/LKc = 36
[HI] = mol/L
6.化学平衡むずかしい
PCl₅ は PCl₅ ⇌ PCl₃ + Cl₂ のように分解し、反応温度で Kc = 0.5 である。容器には初め 0.2 mol/L の PCl₅ だけが入っている。平衡濃度 [PCl5] を求めよ。
[PCl₅]₀ = 0.2 mol/LKc = 0.5
[PCl5] = mol/L
7.物質収支ふつう
混合後の製品が砂糖を 25% 含むようにするには、流れ 1 に毎時どれだけ流れ 2 を加えればよいか。ṁ2 を求めよ。
ṁ1 = 650 kg/hx1 = 30 %x2 = 20 %x3 = 25 %
ṁ2 = kg/h
8.物質収支むずかしい
蒸発缶で純水を蒸発させ、砂糖水溶液を濃縮する。蒸発した水量 Wを kg/h で求めよ。
F = 3500 kg/hxF = 18 %xP = 50 %
W = kg/h
3溶液
1.反応速度論
答え: k = 0.04463 min⁻¹
Integrated rate laws: zero order: C = C₀ − kt (straight line, t½ = C₀/(2k)); first order: ln(C₀/C) = kt (t½ = ln 2/k); second order: 1/C − 1/C₀ = kt (t½ = 1/(kC₀)). Conversion X means C = C₀(1 − X).
1 次反応の積分形速度式
k = ln(CA0/CA)/t = ln(1.2/0.96)/5 = 0.2231/5 = 0.04463 min⁻¹
答え
k = 0.04463 min⁻¹
2.反応速度論
答え: X = 32.08 %
Reaction rates: for a first-order reaction −dC/dt = kC, so C = C₀·e−kt and the half-life ln 2/k does not depend on concentration. For a second-order reaction 1/C = 1/C₀ + kt. The rate constant rises with temperature following Arrhenius: k = A·e−Ea/(RT).
新しい温度での速度定数
T1 = 298.1 K, T2 = 313.1 K
k2 = 0.01·e−(70000/8.314)·(1/313.1 − 1/298.1) = 0.03868 min⁻¹
反応率
X = 1 − e−0.03868·10 = 1 − 0.6792 = 32.08 %
答え
X = 32.08 %
3.反応器の設計（CSTR と PFR）
答え: CA = 0.009158 mol/L
理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。
空間時間
τ = V/Q = 1000/50 = 20 min
出口濃度
CA = 0.5·e−0.2·20 = 0.009158 mol/L
答え
CA = 0.009158 mol/L
反応率：X = 98.17%。
4.反応器の設計（CSTR と PFR）
答え: X = 96 %
理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。
空間時間
τ = V/Q = 500/50 = 10 min, kτ = 0.4·10 = 4
反応率
C1/CA0 = 1/(1 + kτ) = 1/(1 + 4) = 0.2
C2/CA0 = 1/(1 + kτ)² = 0.04
X = 1 − 0.04 = 96%
答え
X = 96%
5.化学平衡
答え: [HI] = 0.6 mol/L
化学平衡：aA + bB ⇌ cC + dD に対して、平衡定数は Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b) で、平衡時の濃度を使います。ICE 表（初期・変化・平衡）は、係数倍した 1 つの未知数 x を通して、初めの量と平衡時の量を結びつけます。
平衡の式
36 = (2x)²/(0.4 − x)²
平方根をとる
6 = 2x/(0.4 − x) → x = 0.4·6/(2 + 6) = 0.3 mol/L
平衡濃度
[HI] = 2x = 0.6 mol/L
答え
[HI] = 0.6 mol/L
6.化学平衡
答え: [PCl5] = 0.04689 mol/L
化学平衡：aA + bB ⇌ cC + dD に対して、平衡定数は Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b) で、平衡時の濃度を使います。ICE 表（初期・変化・平衡）は、係数倍した 1 つの未知数 x を通して、初めの量と平衡時の量を結びつけます。
平衡の式
0.5 = x²/(0.2 − x) → x² + 0.5·x − 0.1 = 0
2 次方程式を解く
x = (−0.5 + √(0.5² + 4·0.1))/2 = 0.1531 mol/L
平衡濃度
[PCl₅] = 0.2 − 0.1531 = 0.04689 mol/L
答え
[PCl5] = 0.04689 mol/L
7.物質収支
答え: ṁ2 = 650 kg/h
定常状態の物質収支：全体と各成分で入量 = 出量。混合の問題では両方を組み合わせます。
収支
Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
砂糖: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3
ṁ2 について解く
ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 650·(30 − 25)/(25 − 20) = 650 kg/h
答え
ṁ2 = 650 kg/h
8.物質収支
答え: W = 2240 kg/h
タイ成分：1 つの流れだけを変化せずに通る成分（ここでは溶質）は、流量どうしを直接結びつけます。残りは全体収支で求まります。
溶質収支
F·xF = P·xP → P = 3500·18/50 = 1260 kg/h
全体収支
W = F − P = 3500 − 1260 = 2240 kg/h
答え
W = 2240 kg/h
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