反応工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

反応速度論

1 次
ln(CA/CA0) = −kt
半減期（1 次）
t½ = ln 2/k
2 次
1/CA = 1/CA0 + kt
アレニウス
k = A·e−Ea/(RT)
2 つの温度
ln(k2/k1) = (Ea/R)(1/T1 − 1/T2)

反応器の設計（CSTR と PFR）

空間時間
τ = V/Q
CSTR、1 次反応
τ = X/(k·(1 − X)), CA = CA0/(1 + kτ)
PFR、1 次反応
τ = ln(1/(1 − X))/k, CA = CA0·e−kτ
体積から求める反応率
CSTR: X = kτ/(1 + kτ), PFR: X = 1 − e−kτ
直列につないだ N 個の等しい CSTR
X = 1 − 1/(1 + kτi)N

化学平衡

平衡定数
Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b)
ICE 表
初期、変化（×係数）、平衡
2 次方程式
x = (−b + √(b² − 4ac))/(2a)

解き方

  1. Kc は生成物を反応物で割った形で書き、それぞれを係数乗します。
  2. ICE 表をつくります：初期（Initial）、変化（Change、x に係数を掛けた量）、平衡（Equilibrium）。
  3. 平衡時の式を Kc に代入し、x について解きます。
  4. 近似が使えるほど x が小さいか確認します。小さくなければ 2 次方程式を解きます。

物質収支

定常状態
入量 = 出量
全体収支
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
成分収支
ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
蒸発缶
F·xF = P·xP, W = F − P

2演習問題

1.反応速度論ふつう
t (min)C (mol/L)30 min0.48

1 次反応で A の濃度が 30 min で 1.2 mol/L から 0.48 mol/L に減少する。速度定数 k を求めよ。

CA0 = 1.2 mol/LCA = 0.48 mol/Lt = 30 min
k = min⁻¹
2.反応速度論むずかしい
Tk20 °Ck1​?2·k1​

ある反応の活性化エネルギーは 55 kJ/mol である。20 °C では反応が遅すぎる。反応を 2 倍速くするには何 °C の温度 T2 まで加熱しなければならないか。

Ea = 55 kJ/molT1 = 20 °Ck2/k1 = 2R = 8.314 J/(mol·K)
T2 = °C
3.反応器の設計（CSTR と PFR）ふつう
Q = 100 L/minX = 50%V = ?, k = 0.12 min⁻¹

k = 0.12 min⁻¹ の液相 1 次反応 A → B を、100 L/min で供給される押出し流れ反応器（PFR）で行う。 密度は一定で、反応器は定常状態にある。A の反応率 50% に必要な反応器体積 V をリットルで求めよ。

Q = 100 L/mink = 0.12 min⁻¹X = 50%
V = L
4.反応器の設計（CSTR と PFR）むずかしい
V = 1500 LQ = 20 L/minX = ?

液相 1 次反応（k = 0.3 min⁻¹）を、20 L/min で供給される 1500 L の CSTR で行う。密度は一定で、反応器は定常状態にある。反応率 X をパーセントで求めよ。

V = 1500 LQ = 20 L/mink = 0.3 min⁻¹
X = %
5.化学平衡ふつう
H2​I2​HII0.20.20C−x−x+2xE0.2 − x0.2 − x2x

0.2 mol/L の H₂ と 0.2 mol/L の I₂ を容器に入れると、H₂ + I₂ ⇌ 2HI の反応が起こる。Kc = 16 である。平衡濃度 [H2] を求めよ。

[H₂]₀ = [I₂]₀ = 0.2 mol/LKc = 16
[H2] = mol/L
6.化学平衡むずかしい
PCl5​PCl3​Cl2​I1.500C−x+x+xE1.5 − xxx

PCl₅ は PCl₅ ⇌ PCl₃ + Cl₂ のように分解し、反応温度で Kc = 0.05 である。容器には初め 1.5 mol/L の PCl₅ だけが入っている。平衡濃度 [PCl5] を求めよ。

[PCl₅]₀ = 1.5 mol/LKc = 0.05
[PCl5] = mol/L
7.物質収支ふつう
ミキサー流れ 11000 kg/h · 15% 砂糖流れ 2ṁ₂ = ? · 35% 砂糖製品20% 砂糖

混合後の製品が砂糖を 20% 含むようにするには、流れ 1 に毎時どれだけ流れ 2 を加えればよいか。ṁ2 を求めよ。

ṁ1 = 1000 kg/hx1 = 15 %x2 = 35 %x3 = 20 %
ṁ2 = kg/h
8.物質収支むずかしい
蒸発缶原料 F1600 kg/h · 12% NaOH製品 P40% NaOH蒸気 W（純水）W = ? kg/h

蒸発缶で純水を蒸発させ、NaOH水溶液を濃縮する。蒸発した水量 Wを kg/h で求めよ。

F = 1600 kg/hxF = 12 %xP = 40 %
W = kg/h

3溶液

1.反応速度論

答え: k = 0.03054 min⁻¹

Integrated rate laws: zero order: C = C₀ − kt (straight line, t½ = C₀/(2k)); first order: ln(C₀/C) = kt (t½ = ln 2/k); second order: 1/C − 1/C₀ = kt (t½ = 1/(kC₀)). Conversion X means C = C₀(1 − X).

1 次反応の積分形速度式

k = ln(CA0/CA)/t = ln(1.2/0.48)/30 = 0.9163/30 = 0.03054 min⁻¹

答え

k = 0.03054 min⁻¹
2.反応速度論

答え: T2 = 29.29 °C

Reaction rates: for a first-order reaction −dC/dt = kC, so C = C₀·e−kt and the half-life ln 2/k does not depend on concentration. For a second-order reaction 1/C = 1/C₀ + kt. The rate constant rises with temperature following Arrhenius: k = A·e−Ea/(RT).

絶対温度

T1 = 293.1 K

アレニウスの式を T₂ について解く

1/T2 = 1/293.1 − 8.314·ln(2)/55000 = 3.411 × 10⁻³ − 1.048 × 10⁻⁴ = 3.306 × 10⁻³ K⁻¹
T2 = 302.4 K = 29.29 °C

答え

T2 = 29.29 °C
3.反応器の設計（CSTR と PFR）

答え: V = 577.6 L

理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。

空間時間

τ = ln(1/(1 − 0.5))/0.12 = 0.6931/0.12 = 5.776 min

体積

V = Q·τ = 100·5.776 = 577.6 L

答え

V = 577.6 L
4.反応器の設計（CSTR と PFR）

答え: X = 95.74 %

理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。

空間時間

τ = V/Q = 1500/20 = 75 min, kτ = 0.3·75 = 22.5

反応率

X = kτ/(1 + kτ) = 22.5/(1 + 22.5) = 95.74%

答え

X = 95.74%
5.化学平衡

答え: [H2] = 0.06667 mol/L

化学平衡：aA + bB ⇌ cC + dD に対して、平衡定数は Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b) で、平衡時の濃度を使います。ICE 表（初期・変化・平衡）は、係数倍した 1 つの未知数 x を通して、初めの量と平衡時の量を結びつけます。

平衡の式

16 = (2x)²/(0.2 − x)²

平方根をとる

4 = 2x/(0.2 − x) → x = 0.2·4/(2 + 4) = 0.1333 mol/L

平衡濃度

[H₂] = 0.2 − x = 0.06667 mol/L

答え

[H2] = 0.06667 mol/L
6.化学平衡

答え: [PCl5] = 1.25 mol/L

化学平衡：aA + bB ⇌ cC + dD に対して、平衡定数は Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b) で、平衡時の濃度を使います。ICE 表（初期・変化・平衡）は、係数倍した 1 つの未知数 x を通して、初めの量と平衡時の量を結びつけます。

平衡の式

0.05 = x²/(1.5 − x) → x² + 0.05·x − 0.075 = 0

2 次方程式を解く

x = (−0.05 + √(0.05² + 4·0.075))/2 = 0.25 mol/L

平衡濃度

[PCl₅] = 1.5 − 0.25 = 1.25 mol/L

答え

[PCl5] = 1.25 mol/L
7.物質収支

答え: ṁ2 = 333.3 kg/h

定常状態の物質収支：全体と各成分で入量 = 出量。混合の問題では両方を組み合わせます。

収支

Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
砂糖: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3

ṁ2 について解く

ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 1000·(15 − 20)/(20 − 35) = 333.3 kg/h

答え

ṁ2 = 333.3 kg/h
8.物質収支

答え: W = 1120 kg/h

タイ成分：1 つの流れだけを変化せずに通る成分（ここでは溶質）は、流量どうしを直接結びつけます。残りは全体収支で求まります。

溶質収支

F·xF = P·xP → P = 1600·12/40 = 480 kg/h

全体収支

W = F − P = 1600 − 480 = 1120 kg/h

答え

W = 1120 kg/h

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