反応工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

反応速度論

1 次
ln(CA/CA0) = −kt
半減期（1 次）
t½ = ln 2/k
2 次
1/CA = 1/CA0 + kt
アレニウス
k = A·e−Ea/(RT)
2 つの温度
ln(k2/k1) = (Ea/R)(1/T1 − 1/T2)

反応器の設計（CSTR と PFR）

空間時間
τ = V/Q
CSTR、1 次反応
τ = X/(k·(1 − X)), CA = CA0/(1 + kτ)
PFR、1 次反応
τ = ln(1/(1 − X))/k, CA = CA0·e−kτ
体積から求める反応率
CSTR: X = kτ/(1 + kτ), PFR: X = 1 − e−kτ
直列につないだ N 個の等しい CSTR
X = 1 − 1/(1 + kτi)N

化学平衡

平衡定数
Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b)
ICE 表
初期、変化（×係数）、平衡
2 次方程式
x = (−b + √(b² − 4ac))/(2a)

解き方

  1. Kc は生成物を反応物で割った形で書き、それぞれを係数乗します。
  2. ICE 表をつくります：初期（Initial）、変化（Change、x に係数を掛けた量）、平衡（Equilibrium）。
  3. 平衡時の式を Kc に代入し、x について解きます。
  4. 近似が使えるほど x が小さいか確認します。小さくなければ 2 次方程式を解きます。

物質収支

定常状態
入量 = 出量
全体収支
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
成分収支
ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
蒸発缶
F·xF = P·xP, W = F − P

2演習問題

1.反応速度論ふつう
t (min)C (mol/L)5 min1.2

1 次反応で A の濃度が 5 min で 2 mol/L から 1.2 mol/L に減少する。速度定数 k を求めよ。

CA0 = 2 mol/LCA = 1.2 mol/Lt = 5 min
k = min⁻¹
2.反応速度論むずかしい
CA0​ (mol/L)r (mol/(L·s))実験 10.50.008実験 21.50.216n = ?

2 つの実験で A → 生成物の初速度を測定する。CA0 = 0.5 mol/L のとき反応速度は 0.008 mol/(L·s)、CA0 = 1.5 mol/L のとき 0.216 mol/(L·s) である。A に関する反応次数 n を求めよ。

CA0,1 = 0.5 mol/Lr1 = 0.008 mol/(L·s)CA0,2 = 1.5 mol/Lr2 = 0.216 mol/(L·s)
n =
3.反応器の設計（CSTR と PFR）ふつう
Q = 50 L/minX = 90%V = ?, k = 0.25 min⁻¹

k = 0.25 min⁻¹ の液相 1 次反応 A → B を、50 L/min で供給される押出し流れ反応器（PFR）で行う。 密度は一定で、反応器は定常状態にある。A の反応率 90% に必要な反応器体積 V をリットルで求めよ。

Q = 50 L/mink = 0.25 min⁻¹X = 90%
V = L
4.反応器の設計（CSTR と PFR）むずかしい
V = 2000 LQ = 25 L/minX = ?

液相 1 次反応（k = 0.4 min⁻¹）を、25 L/min で供給される 2000 L の CSTR で行う。密度は一定で、反応器は定常状態にある。反応率 X をパーセントで求めよ。

V = 2000 LQ = 25 L/mink = 0.4 min⁻¹
X = %
5.化学平衡ふつう
H2​I2​HII0.250.250C−x−x+2xE0.25 − x0.25 − x2x

0.25 mol/L の H₂ と 0.25 mol/L の I₂ を容器に入れると、H₂ + I₂ ⇌ 2HI の反応が起こる。Kc = 16 である。平衡濃度 [H2] を求めよ。

[H₂]₀ = [I₂]₀ = 0.25 mol/LKc = 16
[H2] = mol/L
6.化学平衡むずかしい
PCl5​PCl3​Cl2​I0.400C−x+x+xE0.4 − xxx

PCl₅ は PCl₅ ⇌ PCl₃ + Cl₂ のように分解し、反応温度で Kc = 0.5 である。容器には初め 0.4 mol/L の PCl₅ だけが入っている。平衡濃度 [PCl5] を求めよ。

[PCl₅]₀ = 0.4 mol/LKc = 0.5
[PCl5] = mol/L
7.物質収支ふつう
ミキサー流れ 1700 kg/h · 15% NaOH流れ 2ṁ₂ = ? · 30% NaOH製品25% NaOH

混合後の製品がNaOHを 25% 含むようにするには、流れ 1 に毎時どれだけ流れ 2 を加えればよいか。ṁ2 を求めよ。

ṁ1 = 700 kg/hx1 = 15 %x2 = 30 %x3 = 25 %
ṁ2 = kg/h
8.物質収支むずかしい
蒸発缶原料 F1800 kg/h · 16% 砂糖製品 PP = ? · 55%蒸気 W（純水）0% 砂糖

蒸発缶で純水を蒸発させ、砂糖水溶液を濃縮する。製品流量 Pを kg/h で求めよ。

F = 1800 kg/hxF = 16 %xP = 55 %
P = kg/h

3溶液

1.反応速度論

答え: k = 0.1022 min⁻¹

Integrated rate laws: zero order: C = C₀ − kt (straight line, t½ = C₀/(2k)); first order: ln(C₀/C) = kt (t½ = ln 2/k); second order: 1/C − 1/C₀ = kt (t½ = 1/(kC₀)). Conversion X means C = C₀(1 − X).

1 次反応の積分形速度式

k = ln(CA0/CA)/t = ln(2/1.2)/5 = 0.5108/5 = 0.1022 min⁻¹

答え

k = 0.1022 min⁻¹
2.反応速度論

答え: n = 3

初速度法：r = k·Cⁿ について、初濃度だけが異なる 2 つの実験を比べると k が消えます：r₂/r₁ = (C₂/C₁)ⁿ。C を 2 倍にすると、1 次では反応速度が 2 倍、2 次では 4 倍になります。

比

r2/r1 = 0.216/0.008 = 27
C2/C1 = 1.5/0.5 = 3

次数

n = ln(27)/ln(3) = 3

答え

n = 3
3.反応器の設計（CSTR と PFR）

答え: V = 460.5 L

理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。

空間時間

τ = ln(1/(1 − 0.9))/0.25 = 2.303/0.25 = 9.21 min

体積

V = Q·τ = 50·9.21 = 460.5 L

答え

V = 460.5 L
4.反応器の設計（CSTR と PFR）

答え: X = 96.97 %

理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。

空間時間

τ = V/Q = 2000/25 = 80 min, kτ = 0.4·80 = 32

反応率

X = kτ/(1 + kτ) = 32/(1 + 32) = 96.97%

答え

X = 96.97%
5.化学平衡

答え: [H2] = 0.08333 mol/L

化学平衡：aA + bB ⇌ cC + dD に対して、平衡定数は Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b) で、平衡時の濃度を使います。ICE 表（初期・変化・平衡）は、係数倍した 1 つの未知数 x を通して、初めの量と平衡時の量を結びつけます。

平衡の式

16 = (2x)²/(0.25 − x)²

平方根をとる

4 = 2x/(0.25 − x) → x = 0.25·4/(2 + 4) = 0.1667 mol/L

平衡濃度

[H₂] = 0.25 − x = 0.08333 mol/L

答え

[H2] = 0.08333 mol/L
6.化学平衡

答え: [PCl5] = 0.1377 mol/L

化学平衡：aA + bB ⇌ cC + dD に対して、平衡定数は Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b) で、平衡時の濃度を使います。ICE 表（初期・変化・平衡）は、係数倍した 1 つの未知数 x を通して、初めの量と平衡時の量を結びつけます。

平衡の式

0.5 = x²/(0.4 − x) → x² + 0.5·x − 0.2 = 0

2 次方程式を解く

x = (−0.5 + √(0.5² + 4·0.2))/2 = 0.2623 mol/L

平衡濃度

[PCl₅] = 0.4 − 0.2623 = 0.1377 mol/L

答え

[PCl5] = 0.1377 mol/L
7.物質収支

答え: ṁ2 = 1400 kg/h

定常状態の物質収支：全体と各成分で入量 = 出量。混合の問題では両方を組み合わせます。

収支

Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
NaOH: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3

ṁ2 について解く

ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 700·(15 − 25)/(25 − 30) = 1400 kg/h

答え

ṁ2 = 1400 kg/h
8.物質収支

答え: P = 523.6 kg/h

タイ成分：1 つの流れだけを変化せずに通る成分（ここでは溶質）は、流量どうしを直接結びつけます。残りは全体収支で求まります。

溶質収支

F·xF = P·xP → P = 1800·16/55 = 523.6 kg/h

答え

P = 523.6 kg/h

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