反応工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

反応速度論

1 次
ln(CA/CA0) = −kt
半減期（1 次）
t½ = ln 2/k
2 次
1/CA = 1/CA0 + kt
アレニウス
k = A·e−Ea/(RT)
2 つの温度
ln(k2/k1) = (Ea/R)(1/T1 − 1/T2)

反応器の設計（CSTR と PFR）

空間時間
τ = V/Q
CSTR、1 次反応
τ = X/(k·(1 − X)), CA = CA0/(1 + kτ)
PFR、1 次反応
τ = ln(1/(1 − X))/k, CA = CA0·e−kτ
体積から求める反応率
CSTR: X = kτ/(1 + kτ), PFR: X = 1 − e−kτ
直列につないだ N 個の等しい CSTR
X = 1 − 1/(1 + kτi)N

化学平衡

平衡定数
Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b)
ICE 表
初期、変化（×係数）、平衡
2 次方程式
x = (−b + √(b² − 4ac))/(2a)

解き方

  1. Kc は生成物を反応物で割った形で書き、それぞれを係数乗します。
  2. ICE 表をつくります：初期（Initial）、変化（Change、x に係数を掛けた量）、平衡（Equilibrium）。
  3. 平衡時の式を Kc に代入し、x について解きます。
  4. 近似が使えるほど x が小さいか確認します。小さくなければ 2 次方程式を解きます。

物質収支

定常状態
入量 = 出量
全体収支
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
成分収支
ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
蒸発缶
F·xF = P·xP, W = F − P

2演習問題

1.反応速度論ふつう
t (min)X (%)t = ?60%

回分反応器での 1 次反応の k = 0.08 min⁻¹ である。反応率 60% に達するまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

k = 0.08 min⁻¹X = 60 %
t = min
2.反応速度論むずかしい
Tk20 °Ck1​?5·k1​

ある反応の活性化エネルギーは 60 kJ/mol である。20 °C では反応が遅すぎる。反応を 5 倍速くするには何 °C の温度 T2 まで加熱しなければならないか。

Ea = 60 kJ/molT1 = 20 °Ck2/k1 = 5R = 8.314 J/(mol·K)
T2 = °C
3.反応器の設計（CSTR と PFR）ふつう
QX = 80%CSTR と同じ Q、k、X

液相 1 次反応で 80% の反応率を達成しなければならない。供給速度、速度定数、反応率が同じとき、CSTR は PFR の何倍の体積が必要か。比 VCSTR/VPFR を求めよ。

X = 80%1 次反応、同じ k と Q
VCSTR/VPFR =
4.反応器の設計（CSTR と PFR）むずかしい
V = 150 LV = 150 LQ = 50 L/minX = ?

液相 1 次反応（k = 0.1 min⁻¹）を、各 150 L の等しい 2 つの CSTR を直列につないで行う。供給速度は 50 L/min、密度は一定で、反応器は定常状態にある。全体の反応率 X をパーセントで求めよ。

V = 150 L (×2)Q = 50 L/mink = 0.1 min⁻¹
X = %
5.化学平衡ふつう
H2​I2​HII0.40.40C−x−x+2xE0.4 − x0.4 − x2x

0.4 mol/L の H₂ と 0.4 mol/L の I₂ を容器に入れると、H₂ + I₂ ⇌ 2HI の反応が起こる。Kc = 49 である。平衡濃度 [HI] を求めよ。

[H₂]₀ = [I₂]₀ = 0.4 mol/LKc = 49
[HI] = mol/L
6.化学平衡むずかしい
PCl5​PCl3​Cl2​I0.400C−x+x+xE0.4 − xxx

PCl₅ は PCl₅ ⇌ PCl₃ + Cl₂ のように分解し、反応温度で Kc = 0.2 である。容器には初め 0.4 mol/L の PCl₅ だけが入っている。平衡濃度 [Cl2] を求めよ。

[PCl₅]₀ = 0.4 mol/LKc = 0.2
[Cl2] = mol/L
7.物質収支ふつう
ミキサー流れ 1400 kg/h · 50% 砂糖流れ 2ṁ₂ = ? · 10% 砂糖製品30% 砂糖

混合後の製品が砂糖を 30% 含むようにするには、流れ 1 に毎時どれだけ流れ 2 を加えればよいか。ṁ2 を求めよ。

ṁ1 = 400 kg/hx1 = 50 %x2 = 10 %x3 = 30 %
ṁ2 = kg/h
8.物質収支むずかしい
蒸発缶原料 F3700 kg/h · 15% 食塩製品 P60% 食塩蒸気 W（純水）W = ? kg/h

蒸発缶で純水を蒸発させ、食塩水溶液を濃縮する。蒸発した水量 Wを kg/h で求めよ。

F = 3700 kg/hxF = 15 %xP = 60 %
W = kg/h

3溶液

1.反応速度論

答え: t = 11.45 min

反応速度：1 次反応では −dC/dt = kC なので C = C₀·e−kt、半減期 ln 2/k は濃度によりません。2 次反応では 1/C = 1/C₀ + kt。速度定数はアレニウスの式に従い温度とともに増加します：k = A·e−Ea/(RT)。

反応率と濃度

C/C0 = 1 − X = 0.4

時間について解く

t = −ln(1 − X)/k = −ln(0.4)/0.08 = 11.45 min

答え

t = 11.45 min
2.反応速度論

答え: T2 = 40.51 °C

Reaction rates: for a first-order reaction −dC/dt = kC, so C = C₀·e−kt and the half-life ln 2/k does not depend on concentration. For a second-order reaction 1/C = 1/C₀ + kt. The rate constant rises with temperature following Arrhenius: k = A·e−Ea/(RT).

絶対温度

T1 = 293.1 K

アレニウスの式を T₂ について解く

1/T2 = 1/293.1 − 8.314·ln(5)/60000 = 3.411 × 10⁻³ − 2.230 × 10⁻⁴ = 3.188 × 10⁻³ K⁻¹
T2 = 313.7 K = 40.51 °C

答え

T2 = 40.51 °C
3.反応器の設計（CSTR と PFR）

答え: VCSTR/VPFR = 2.485

理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。

各反応器の k·τ

CSTR: k·τ = X/(1 − X) = 0.8/0.2 = 4
PFR: k·τ = ln(1/(1 − X)) = ln(5) = 1.609

体積の比

VCSTR/VPFR = 4/1.609 = 2.485

答え

VCSTR/VPFR = 2.485

反応率が高いと、その差は急速に大きくなります。

4.反応器の設計（CSTR と PFR）

答え: X = 40.83 %

理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。

空間時間

τ = V/Q = 150/50 = 3 min, kτ = 0.1·3 = 0.3

反応率

C1/CA0 = 1/(1 + kτ) = 1/(1 + 0.3) = 0.7692
C2/CA0 = 1/(1 + kτ)² = 0.5917
X = 1 − 0.5917 = 40.83%

答え

X = 40.83%
5.化学平衡

答え: [HI] = 0.6222 mol/L

化学平衡：aA + bB ⇌ cC + dD に対して、平衡定数は Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b) で、平衡時の濃度を使います。ICE 表（初期・変化・平衡）は、係数倍した 1 つの未知数 x を通して、初めの量と平衡時の量を結びつけます。

平衡の式

49 = (2x)²/(0.4 − x)²

平方根をとる

7 = 2x/(0.4 − x) → x = 0.4·7/(2 + 7) = 0.3111 mol/L

平衡濃度

[HI] = 2x = 0.6222 mol/L

答え

[HI] = 0.6222 mol/L
6.化学平衡

答え: [Cl2] = 0.2 mol/L

化学平衡：aA + bB ⇌ cC + dD に対して、平衡定数は Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b) で、平衡時の濃度を使います。ICE 表（初期・変化・平衡）は、係数倍した 1 つの未知数 x を通して、初めの量と平衡時の量を結びつけます。

平衡の式

0.2 = x²/(0.4 − x) → x² + 0.2·x − 0.08 = 0

2 次方程式を解く

x = (−0.2 + √(0.2² + 4·0.08))/2 = 0.2 mol/L

平衡濃度

[Cl₂] = x = 0.2 mol/L

答え

[Cl2] = 0.2 mol/L
7.物質収支

答え: ṁ2 = 400 kg/h

定常状態の物質収支：全体と各成分で入量 = 出量。混合の問題では両方を組み合わせます。

収支

Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
砂糖: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3

ṁ2 について解く

ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 400·(50 − 30)/(30 − 10) = 400 kg/h

答え

ṁ2 = 400 kg/h
8.物質収支

答え: W = 2775 kg/h

タイ成分：1 つの流れだけを変化せずに通る成分（ここでは溶質）は、流量どうしを直接結びつけます。残りは全体収支で求まります。

溶質収支

F·xF = P·xP → P = 3700·15/60 = 925 kg/h

全体収支

W = F − P = 3700 − 925 = 2775 kg/h

答え

W = 2775 kg/h

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