反応工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

反応速度論

1 次
ln(CA/CA0) = −kt
半減期（1 次）
t½ = ln 2/k
2 次
1/CA = 1/CA0 + kt
アレニウス
k = A·e−Ea/(RT)
2 つの温度
ln(k2/k1) = (Ea/R)(1/T1 − 1/T2)

反応器の設計（CSTR と PFR）

空間時間
τ = V/Q
CSTR、1 次反応
τ = X/(k·(1 − X)), CA = CA0/(1 + kτ)
PFR、1 次反応
τ = ln(1/(1 − X))/k, CA = CA0·e−kτ
体積から求める反応率
CSTR: X = kτ/(1 + kτ), PFR: X = 1 − e−kτ
直列につないだ N 個の等しい CSTR
X = 1 − 1/(1 + kτi)N

化学平衡

平衡定数
Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b)
ICE 表
初期、変化（×係数）、平衡
2 次方程式
x = (−b + √(b² − 4ac))/(2a)

解き方

  1. Kc は生成物を反応物で割った形で書き、それぞれを係数乗します。
  2. ICE 表をつくります：初期（Initial）、変化（Change、x に係数を掛けた量）、平衡（Equilibrium）。
  3. 平衡時の式を Kc に代入し、x について解きます。
  4. 近似が使えるほど x が小さいか確認します。小さくなければ 2 次方程式を解きます。

物質収支

定常状態
入量 = 出量
全体収支
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
成分収支
ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
蒸発缶
F·xF = P·xP, W = F − P

2演習問題

1.反応速度論ふつう
t (min)X (%)t = ?99%

回分反応器での 1 次反応の k = 0.02 min⁻¹ である。反応率 99% に達するまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

k = 0.02 min⁻¹X = 99 %
t = min
2.反応速度論むずかしい
Tk25 °Ck1​?10·k1​

ある反応の活性化エネルギーは 80 kJ/mol である。25 °C では反応が遅すぎる。反応を 10 倍速くするには何 °C の温度 T2 まで加熱しなければならないか。

Ea = 80 kJ/molT1 = 25 °Ck2/k1 = 10R = 8.314 J/(mol·K)
T2 = °C
3.反応器の設計（CSTR と PFR）ふつう
Q = 25 L/minX = 80%V = ?, k = 0.2 min⁻¹

k = 0.2 min⁻¹ の液相 1 次反応 A → B を、25 L/min で供給される押出し流れ反応器（PFR）で行う。 密度は一定で、反応器は定常状態にある。A の反応率 80% に必要な反応器体積 V をリットルで求めよ。

Q = 25 L/mink = 0.2 min⁻¹X = 80%
V = L
4.反応器の設計（CSTR と PFR）むずかしい
V = 250 LQ = 40 L/minX = ?

液相 1 次反応（k = 0.3 min⁻¹）を、40 L/min で供給される 250 L の CSTR で行う。密度は一定で、反応器は定常状態にある。反応率 X をパーセントで求めよ。

V = 250 LQ = 40 L/mink = 0.3 min⁻¹
X = %
5.化学平衡ふつう
H2​I2​HII110C−x−x+2xE1 − x1 − x2x

1 mol/L の H₂ と 1 mol/L の I₂ を容器に入れると、H₂ + I₂ ⇌ 2HI の反応が起こる。Kc = 50 である。平衡濃度 [H2] を求めよ。

[H₂]₀ = [I₂]₀ = 1 mol/LKc = 50
[H2] = mol/L
6.化学平衡むずかしい
PCl5​PCl3​Cl2​I0.800C−x+x+xE0.8 − xxx

PCl₅ は PCl₅ ⇌ PCl₃ + Cl₂ のように分解し、反応温度で Kc = 0.05 である。容器には初め 0.8 mol/L の PCl₅ だけが入っている。平衡濃度 [Cl2] を求めよ。

[PCl₅]₀ = 0.8 mol/LKc = 0.05
[Cl2] = mol/L
7.物質収支ふつう
ミキサー流れ 1550 kg/h · 10% 砂糖流れ 2ṁ₂ = ? · 30% 砂糖製品20% 砂糖

混合後の製品が砂糖を 20% 含むようにするには、流れ 1 に毎時どれだけ流れ 2 を加えればよいか。ṁ2 を求めよ。

ṁ1 = 550 kg/hx1 = 10 %x2 = 30 %x3 = 20 %
ṁ2 = kg/h
8.物質収支むずかしい
蒸発缶原料 F3000 kg/h · 19% 砂糖製品 P45% 砂糖蒸気 W（純水）W = ? kg/h

蒸発缶で純水を蒸発させ、砂糖水溶液を濃縮する。蒸発した水量 Wを kg/h で求めよ。

F = 3000 kg/hxF = 19 %xP = 45 %
W = kg/h

3溶液

1.反応速度論

答え: t = 230.3 min

反応速度：1 次反応では −dC/dt = kC なので C = C₀·e−kt、半減期 ln 2/k は濃度によりません。2 次反応では 1/C = 1/C₀ + kt。速度定数はアレニウスの式に従い温度とともに増加します：k = A·e−Ea/(RT)。

反応率と濃度

C/C0 = 1 − X = 0.01

時間について解く

t = −ln(1 − X)/k = −ln(0.01)/0.02 = 230.3 min

答え

t = 230.3 min
2.反応速度論

答え: T2 = 47.91 °C

Reaction rates: for a first-order reaction −dC/dt = kC, so C = C₀·e−kt and the half-life ln 2/k does not depend on concentration. For a second-order reaction 1/C = 1/C₀ + kt. The rate constant rises with temperature following Arrhenius: k = A·e−Ea/(RT).

絶対温度

T1 = 298.1 K

アレニウスの式を T₂ について解く

1/T2 = 1/298.1 − 8.314·ln(10)/80000 = 3.354 × 10⁻³ − 2.393 × 10⁻⁴ = 3.115 × 10⁻³ K⁻¹
T2 = 321.1 K = 47.91 °C

答え

T2 = 47.91 °C
3.反応器の設計（CSTR と PFR）

答え: V = 201.2 L

理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。

空間時間

τ = ln(1/(1 − 0.8))/0.2 = 1.609/0.2 = 8.047 min

体積

V = Q·τ = 25·8.047 = 201.2 L

答え

V = 201.2 L
4.反応器の設計（CSTR と PFR）

答え: X = 65.22 %

理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。

空間時間

τ = V/Q = 250/40 = 6.25 min, kτ = 0.3·6.25 = 1.875

反応率

X = kτ/(1 + kτ) = 1.875/(1 + 1.875) = 65.22%

答え

X = 65.22%
5.化学平衡

答え: [H2] = 0.2205 mol/L

化学平衡：aA + bB ⇌ cC + dD に対して、平衡定数は Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b) で、平衡時の濃度を使います。ICE 表（初期・変化・平衡）は、係数倍した 1 つの未知数 x を通して、初めの量と平衡時の量を結びつけます。

平衡の式

50 = (2x)²/(1 − x)²

平方根をとる

7.071 = 2x/(1 − x) → x = 1·7.071/(2 + 7.071) = 0.7795 mol/L

平衡濃度

[H₂] = 1 − x = 0.2205 mol/L

答え

[H2] = 0.2205 mol/L
6.化学平衡

答え: [Cl2] = 0.1766 mol/L

化学平衡：aA + bB ⇌ cC + dD に対して、平衡定数は Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b) で、平衡時の濃度を使います。ICE 表（初期・変化・平衡）は、係数倍した 1 つの未知数 x を通して、初めの量と平衡時の量を結びつけます。

平衡の式

0.05 = x²/(0.8 − x) → x² + 0.05·x − 0.04 = 0

2 次方程式を解く

x = (−0.05 + √(0.05² + 4·0.04))/2 = 0.1766 mol/L

平衡濃度

[Cl₂] = x = 0.1766 mol/L

答え

[Cl2] = 0.1766 mol/L
7.物質収支

答え: ṁ2 = 550 kg/h

定常状態の物質収支：全体と各成分で入量 = 出量。混合の問題では両方を組み合わせます。

収支

Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
砂糖: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3

ṁ2 について解く

ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 550·(10 − 20)/(20 − 30) = 550 kg/h

答え

ṁ2 = 550 kg/h
8.物質収支

答え: W = 1733 kg/h

タイ成分：1 つの流れだけを変化せずに通る成分（ここでは溶質）は、流量どうしを直接結びつけます。残りは全体収支で求まります。

溶質収支

F·xF = P·xP → P = 3000·19/45 = 1267 kg/h

全体収支

W = F − P = 3000 − 1267 = 1733 kg/h

答え

W = 1733 kg/h

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