反応速度論
- 1 次
- ln(CA/CA0) = −kt
- 半減期（1 次）
- t½ = ln 2/k
- 2 次
- 1/CA = 1/CA0 + kt
- アレニウス
- k = A·e−Ea/(RT)
- 2 つの温度
- ln(k2/k1) = (Ea/R)(1/T1 − 1/T2)
反応工学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
反応器の設計（CSTR と PFR）
- 空間時間
- τ = V/Q
- CSTR、1 次反応
- τ = X/(k·(1 − X)), CA = CA0/(1 + kτ)
- PFR、1 次反応
- τ = ln(1/(1 − X))/k, CA = CA0·e−kτ
- 体積から求める反応率
- CSTR: X = kτ/(1 + kτ), PFR: X = 1 − e−kτ
- 直列につないだ N 個の等しい CSTR
- X = 1 − 1/(1 + kτi)N
化学平衡
- 平衡定数
- Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b)
- ICE 表
- 初期、変化（×係数）、平衡
- 2 次方程式
- x = (−b + √(b² − 4ac))/(2a)
解き方
- Kc は生成物を反応物で割った形で書き、それぞれを係数乗します。
- ICE 表をつくります：初期（Initial）、変化（Change、x に係数を掛けた量）、平衡（Equilibrium）。
- 平衡時の式を Kc に代入し、x について解きます。
- 近似が使えるほど x が小さいか確認します。小さくなければ 2 次方程式を解きます。
物質収支
- 定常状態
- 入量 = 出量
- 全体収支
- ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
- 成分収支
- ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
- 蒸発缶
- F·xF = P·xP, W = F − P
2演習問題
1.反応速度論ふつう
回分反応器での 1 次反応の k = 0.1 min⁻¹ である。反応率 75% に達するまでの時間はどれだけか。t を求めよ。
k = 0.1 min⁻¹X = 75 %
t = min
2.反応速度論むずかしい
1 次反応の速度定数は 50 °C で 0.05 s⁻¹、活性化エネルギーは 90 kJ/mol である。アレニウスの式の頻度因子 A を求めよ。
k = 0.05 s⁻¹T = 50 °CEa = 90 kJ/molR = 8.314 J/(mol·K)
A = s⁻¹
3.反応器の設計（CSTR と PFR）ふつう
液相 1 次反応で 90% の反応率を達成しなければならない。供給速度、速度定数、反応率が同じとき、CSTR は PFR の何倍の体積が必要か。比 VCSTR/VPFR を求めよ。
X = 90%1 次反応、同じ k と Q
VCSTR/VPFR =
4.反応器の設計（CSTR と PFR）むずかしい
液相 1 次反応（k = 0.12 min⁻¹）を、各 400 L の等しい 2 つの CSTR を直列につないで行う。供給速度は 100 L/min、密度は一定で、反応器は定常状態にある。全体の反応率 X をパーセントで求めよ。
V = 400 L (×2)Q = 100 L/mink = 0.12 min⁻¹
X = %
5.化学平衡ふつう
0.2 mol/L の H₂ と 0.2 mol/L の I₂ を容器に入れると、H₂ + I₂ ⇌ 2HI の反応が起こる。Kc = 50 である。平衡濃度 [HI] を求めよ。
[H₂]₀ = [I₂]₀ = 0.2 mol/LKc = 50
[HI] = mol/L
6.化学平衡むずかしい
PCl₅ は PCl₅ ⇌ PCl₃ + Cl₂ のように分解し、反応温度で Kc = 0.2 である。容器には初め 0.2 mol/L の PCl₅ だけが入っている。平衡濃度 [Cl2] を求めよ。
[PCl₅]₀ = 0.2 mol/LKc = 0.2
[Cl2] = mol/L
7.物質収支ふつう
混合後の製品が食塩を 30% 含むようにするには、流れ 1 に毎時どれだけ流れ 2 を加えればよいか。ṁ2 を求めよ。
ṁ1 = 500 kg/hx1 = 50 %x2 = 15 %x3 = 30 %
ṁ2 = kg/h
8.物質収支むずかしい
蒸発缶で純水を蒸発させ、砂糖水溶液を濃縮する。蒸発した水量 Wを kg/h で求めよ。
F = 2900 kg/hxF = 16 %xP = 35 %
W = kg/h
3溶液
1.反応速度論
答え: t = 13.86 min
反応速度：1 次反応では −dC/dt = kC なので C = C₀·e−kt、半減期 ln 2/k は濃度によりません。2 次反応では 1/C = 1/C₀ + kt。速度定数はアレニウスの式に従い温度とともに増加します：k = A·e−Ea/(RT)。
反応率と濃度
C/C0 = 1 − X = 0.25
時間について解く
t = −ln(1 − X)/k = −ln(0.25)/0.1 = 13.86 min
答え
t = 13.86 min
2.反応速度論
答え: A = 1.767 × 10¹³ s⁻¹
Reaction rates: for a first-order reaction −dC/dt = kC, so C = C₀·e−kt and the half-life ln 2/k does not depend on concentration. For a second-order reaction 1/C = 1/C₀ + kt. The rate constant rises with temperature following Arrhenius: k = A·e−Ea/(RT).
絶対温度
T = 50 + 273.15 = 323.1 K
アレニウスの式を A について解く
Ea/(RT) = 90000/(8.314·323.1) = 33.5
A = k·e33.5 = 0.05·3.534 × 10¹⁴ = 1.767 × 10¹³ s⁻¹
答え
A = 1.767 × 10¹³ s⁻¹
3.反応器の設計（CSTR と PFR）
答え: VCSTR/VPFR = 3.909
理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。
各反応器の k·τ
CSTR: k·τ = X/(1 − X) = 0.9/0.1 = 9
PFR: k·τ = ln(1/(1 − X)) = ln(10) = 2.303
体積の比
VCSTR/VPFR = 9/2.303 = 3.909
答え
VCSTR/VPFR = 3.909
反応率が高いと、その差は急速に大きくなります。
4.反応器の設計（CSTR と PFR）
答え: X = 54.35 %
理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。
空間時間
τ = V/Q = 400/100 = 4 min, kτ = 0.12·4 = 0.48
反応率
C1/CA0 = 1/(1 + kτ) = 1/(1 + 0.48) = 0.6757
C2/CA0 = 1/(1 + kτ)² = 0.4565
X = 1 − 0.4565 = 54.35%
答え
X = 54.35%
5.化学平衡
答え: [HI] = 0.3118 mol/L
化学平衡：aA + bB ⇌ cC + dD に対して、平衡定数は Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b) で、平衡時の濃度を使います。ICE 表（初期・変化・平衡）は、係数倍した 1 つの未知数 x を通して、初めの量と平衡時の量を結びつけます。
平衡の式
50 = (2x)²/(0.2 − x)²
平方根をとる
7.071 = 2x/(0.2 − x) → x = 0.2·7.071/(2 + 7.071) = 0.1559 mol/L
平衡濃度
[HI] = 2x = 0.3118 mol/L
答え
[HI] = 0.3118 mol/L
6.化学平衡
答え: [Cl2] = 0.1236 mol/L
化学平衡：aA + bB ⇌ cC + dD に対して、平衡定数は Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b) で、平衡時の濃度を使います。ICE 表（初期・変化・平衡）は、係数倍した 1 つの未知数 x を通して、初めの量と平衡時の量を結びつけます。
平衡の式
0.2 = x²/(0.2 − x) → x² + 0.2·x − 0.04 = 0
2 次方程式を解く
x = (−0.2 + √(0.2² + 4·0.04))/2 = 0.1236 mol/L
平衡濃度
[Cl₂] = x = 0.1236 mol/L
答え
[Cl2] = 0.1236 mol/L
7.物質収支
答え: ṁ2 = 666.7 kg/h
定常状態の物質収支：全体と各成分で入量 = 出量。混合の問題では両方を組み合わせます。
収支
Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
食塩: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3
ṁ2 について解く
ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 500·(50 − 30)/(30 − 15) = 666.7 kg/h
答え
ṁ2 = 666.7 kg/h
8.物質収支
答え: W = 1574 kg/h
タイ成分：1 つの流れだけを変化せずに通る成分（ここでは溶質）は、流量どうしを直接結びつけます。残りは全体収支で求まります。
溶質収支
F·xF = P·xP → P = 2900·16/35 = 1326 kg/h
全体収支
W = F − P = 2900 − 1326 = 1574 kg/h
答え
W = 1574 kg/h
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