電気回路 II：交流回路：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC 共振、Q 値、帯域幅

固有振動数: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
エネルギー: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
ピーク電流: I_max = V₀√(C/L)
Q 値: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC 直列: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC 並列: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
帯域幅: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
半電力周波数: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
コイル抵抗 r をもつタンク回路: R_D = L/(C·r) = Q²·r
振幅の減衰: e^−Rt/(2L)

解き方

まず共振周波数を求めます：ω₀ = 1/√(LC)、f₀ = ω₀/(2π)。
回路が直列か並列かを判断します：直列は Q = (1/R)√(L/C)、並列は Q = R√(C/L)。
帯域幅は BW = f₀/Q で求めるか、近道の公式 R/(2πL)（直列）、1/(2πRC)（並列）を使います。
エネルギーの問題では、理想的な LC 回路の全エネルギー ½CV₀² が一定で、4 分の 1 周期ごとに C と L の間を行き来することを使います。

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

2演習問題

1.複素数ふつう

図には z = 2 + j3 が示されています。w = 0.5∠90° とするとき、z/w を表す点をクリックしてください。

z = 2 + j3w = 0.5∠90°

1A (−6 + j4)
2B (4 + j6)
3C (3 − j2)
4D (6 − j4)

2.複素数むずかしい

(−2 + j2)³ の実部を求めてください。

z = −2 + j2n = 3

Re(z³) =

3.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、1000 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 2.2 µF

I = A

4.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路の R = 20 Ω、L = 50 mH、C = 0.47 µF である。帯域幅 B（半電力周波数の間の帯域の幅）を Hz で求めよ。

R = 20 ΩL = 50 mHC = 0.47 µF

B = Hz

5.交流電力と力率ふつう

単相モーターが 230 V の電源から、遅れ力率 0.9 で 3 kW を消費する。線電流 I を求めよ。

P = 3 kWpf = 0.9V = 230 V

I = A

6.交流電力と力率むずかしい

100 kVA の単相変圧器が、遅れ力率 0.85 で 58 kW の負荷に電力を供給している。変圧器が kVA 定格に達するまでに、抵抗負荷（力率 1）としてあとどれだけの有効電力 ΔP を追加できるか。

S_max = 100 kVAP₁ = 58 kWpf₁ = 0.85

ΔP = kW

7.LC 共振、Q 値、帯域幅ふつう

RLC 直列回路で R = 5 Ω、L = 470 µH、C = 4.7 nF です。Q 値 Q を求めなさい。

R = 5 ΩL = 470 µHC = 4.7 nF

Q =

8.LC 共振、Q 値、帯域幅むずかしい

共振曲線の半電力周波数は 400 kHz と 440 kHz です。共振周波数をその幾何平均として求め、次に Q 値 Q を求めなさい。

f₁ = 400 kHzf₂ = 440 kHz

Q =

9.三相電力ふつう

1 相あたりのインピーダンスが 4 + j3 Ω の平衡 Δ 結線負荷が、線間電圧 480 V の平衡三相電源に接続されている。負荷が吸収する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 480 VZ = 4 + j3 Ω 1 相あたり

P = kW

10.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、690 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 75 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 75 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.98V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 1 ms でコイルに蓄えられているエネルギー W を mJ で求めよ。

V_s = 9 VR = 33 ΩL = 10 mHt = 1 ms

W = mJ

12.RC・RL 過渡現象むずかしい

スイッチは長い間閉じていたので、回路は定常状態にある。t = 0 にスイッチが開く。 t = 80 ms で R₂ を流れる電流 i₂ を求めよ。

V_s = 12 VR₁ = 6.8 kΩR₂ = 6.8 kΩC = 10 µFt = 80 ms

i₂ = mA

13.テブナン・ノートンふつう

端子 a–b から見たテブナン抵抗 R_th を求めよ。

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 Ω

R_th = Ω

14.テブナン・ノートンむずかしい

a–b 間に負荷 R_L = 6 Ω を接続する。回路の残りをテブナン等価回路に置き換え、負荷電流 I_L を求めよ。

V₁ = 18 VI_s = 0.5 AR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR_L = 6 Ω

I_L = A

15.ボード線図と余裕ふつう

図の RL ハイパスフィルタは R = 22 Ω, L = 100 mH です。8.8 Hz の正弦波入力が加えられます。ゲイン |H| = |v_out/v_in| を dB で求めよ。

R = 22 ΩL = 100 mHf = 8.8 Hz

|H| = dB

16.ボード線図と余裕むずかしい

ユニティフィードバック系の開ループ伝達関数は L(s) = 34/(s(s + 1)(s + 6)) である。 ∠L(jω) = −180° となる位相交差周波数 ω₁₈₀ を求めよ。

L(s) = 34/(s(s + 1)(s + 6))

ω₁₈₀ = rad/s

3溶液

1.複素数

答え: D (6 − j4)

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

w の効果

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − 90°

その点

z/w = 6 − j4 → D

答え

D (6 − j4)

2.複素数

答え: Re(z³) = 16

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

冪を 1 段階ずつ求める

z² = (−2 + j2)(−2 + j2) = −j8

z³ = (−j8)(−2 + j2) = 16 + j16

ド・モアブルの定理で確かめる

z = 2.828∠135° → z³ = 22.63∠45°

Re(z³) = 16

答え

Re(z³) = 16

3.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.01011 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.2 = 1257 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·2.2·10⁻⁶) = 72.34 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (1184)²) = 1187 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 12/1187 = 0.01011 A

答え

I = 0.01011 A

4.交流インピーダンスとフェーザ

答え: B = 63.66 Hz

共振周波数

f₀ = 1/(2π·√(0.05·0.47·10⁻⁶)) = 1038 Hz

Q 値

Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.05/(0.47·10⁻⁶)) = 16.31

帯域幅

B = f₀/Q = 1038/16.31 = 63.66 Hz

答え

B = 63.66 Hz

5.交流電力と力率

答え: I = 14.49 A

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

線電流

仕事をするのは有効分だけなので、力率で割ります。

I = P/(V·cos φ) = 3000/(230·0.9) = 14.49 A

答え

I = 14.49 A

6.交流電力と力率

答え: ΔP = 35.32 kW

既存の負荷の無効電力

Q₁ = 58·tan(arccos 0.85) = 35.95 kvar

最大の全有効電力

定格いっぱいでは S = S_max で、Q は抵抗負荷によって変わりません。

P = √(S_max² − Q₁²) = √(100² − 35.95²) = 93.32 kW

追加できる有効電力

ΔP = 93.32 − 58 = 35.32 kW

答え

ΔP = 35.32 kW

7.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: Q = 63.25

Q 値と帯域幅：共振回路では Q = 2π·（蓄えられたエネルギー）/（1 周期に失われるエネルギー）です。RLC 直列では Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)、RLC 並列では Q = R/(ω₀L) = R√(C/L) です。半電力周波数 f₁ と f₂（電力が半分になり、電流または電圧がピークの 1/√2 になる周波数）の間の帯域幅は BW = f₂ − f₁ = f₀/Q で、直列では R/(2πL)、並列では 1/(2πRC) です。共振周波数は幾何平均 f₀ = √(f₁f₂) で、f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) です。損失は振動の減衰ももたらします：RLC 直列では振幅は e^−Rt/(2L) に従って減ります。

特性インピーダンス

√(L/C) = √(0.00047/4.7 × 10⁻⁹) = 316.2 Ω

Q 値

Q = 316.2/5 = 63.25

答え

Q = 63.25

共振周波数は 107.1 kHz なので、BW = f₀/Q = 1.693 kHz です。

8.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: Q = 10.49

共振周波数

f₀ = √(400000·440000) = 419524 Hz

帯域幅

BW = 440000 − 400000 = 40000 Hz

Q 値

Q = 419524/40000 = 10.49

答え

Q = 10.49

9.三相電力

答え: P = 110.6 kW

相電圧

V_ph = V_L = 480 V

相電流

|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω

I_ph = 480/5 = 96 A

全有効電力

有効電力を吸収するのは、各インピーダンスの抵抗分だけです。

P = 3·I_ph²·R = 3·96²·4 = 110.6 kW

答え

P = 110.6 kW

確認：cos φ = R/|Z| = 0.8 で、√3·V_L·I_L·cos φ からも同じ電力が得られます。

10.三相電力

答え: C_ph = 341.5 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 75·tan(acos 0.7) = 75·1.02 = 76.52 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0.98) = 75·0.2031 = 15.23 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 61.29 kvar

1 相あたりの静電容量

Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 20429/(377·398.4²) = 341.5 µF

答え

C_ph = 341.5 µF

11.RC・RL 過渡現象

答え: W = 0.345 mJ

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 10 mH / 33 Ω = 0.303 ms

i(∞) = V_s/R = 9/33 = 0.2727 A

指定時刻の電流

i(t) = 0.2727·(1 − e^−1/0.303) = 0.2627 A

蓄積エネルギー

W = ½·L·i² = ½·10·0.2627² = 0.345 mJ

答え

W = 0.345 mJ

12.RC・RL 過渡現象

答え: i₂ = 0.2721 mA

コンデンサの初期電圧

定常状態ではコンデンサは開放なので、R₁ と R₂ は分圧回路になります。スイッチが開いてもコンデンサの電圧は急変できません。

v_C(0) = 12·6.8/(6.8 + 6.8) = 6 V

スイッチが開いた後の時定数

τ = R₂·C = 6.8·10 = 68 ms

放電

v_C(t) = 6·e^−80/68 = 1.85 V

i₂ = v_C/R₂ = 1.85/6.8 = 0.2721 mA

答え

i₂ = 0.2721 mA

13.テブナン・ノートン

答え: R_th = 4.714 Ω

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 4·3/(4+3) = 1.714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.714 + 3 = 4.714 Ω

14.テブナン・ノートン

答え: I_L = 0.9717 A

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 10·12/(10+12) = 5.455 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.455 + 3 = 8.455 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 9.818 + 0.5·5.455 = 12.55 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 12.55 + 0.5·3 = 14.05 V

負荷をテブナン等価回路につなぐ

テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 14.05/(8.455 + 6) = 0.9717 A

15.ボード線図と余裕

答え: |H| = −12.26 dB

周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ω_c = 1/(RC) または R/L、f_c = ω_c/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)、φ = −atan(ω/ω_c) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jω_c)。位相交差周波数 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。

カットオフ周波数

ω_c = R/L = 22/0.1 = 220 rad/s

f_c = 35.01 Hz → f/f_c = 8.8/35.01 = 0.2513

利得

|H| = 0.2513/√(1 + 0.2513²) = 0.2437

20·log₁₀(0.2437) = −12.26 dB

答え

|H| = −12.26 dB

16.ボード線図と余裕

答え: ω₁₈₀ = 2.449 rad/s

位相交差

(ω/1)·(ω/6) = 1 → ω₁₈₀ = √(1·6) = 2.449 rad/s

答え

ω₁₈₀ = 2.449 rad/s

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電気回路 II：交流回路：直前対策パック

1公式と解法

複素数

解き方

交流インピーダンスとフェーザ

解き方

交流電力と力率

LC 共振、Q 値、帯域幅

解き方

三相電力

RC・RL 過渡現象

解き方

テブナン・ノートン

解き方

2演習問題

3溶液

w の効果

その点

答え

冪を 1 段階ずつ求める

ド・モアブルの定理で確かめる

答え

リアクタンス

インピーダンス

電流

答え

共振周波数

Q 値

帯域幅

答え

線電流

答え

既存の負荷の無効電力

最大の全有効電力

追加できる有効電力

答え

特性インピーダンス

Q 値

答え

共振周波数

帯域幅

Q 値

答え

相電圧

相電流

全有効電力

答え

改善前後の無効電力

コンデンサが供給する無効電力

1 相あたりの静電容量

答え

時定数と最終電流

指定時刻の電流

蓄積エネルギー

答え

コンデンサの初期電圧

スイッチが開いた後の時定数

放電

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

負荷をテブナン等価回路につなぐ

カットオフ周波数

利得

答え

位相交差

答え

すべての電源を止めて R_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める