電気回路 II：交流回路：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC 共振、Q 値、帯域幅

固有振動数: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
エネルギー: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
ピーク電流: I_max = V₀√(C/L)
Q 値: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC 直列: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC 並列: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
帯域幅: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
半電力周波数: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
コイル抵抗 r をもつタンク回路: R_D = L/(C·r) = Q²·r
振幅の減衰: e^−Rt/(2L)

解き方

まず共振周波数を求めます：ω₀ = 1/√(LC)、f₀ = ω₀/(2π)。
回路が直列か並列かを判断します：直列は Q = (1/R)√(L/C)、並列は Q = R√(C/L)。
帯域幅は BW = f₀/Q で求めるか、近道の公式 R/(2πL)（直列）、1/(2πRC)（並列）を使います。
エネルギーの問題では、理想的な LC 回路の全エネルギー ½CV₀² が一定で、4 分の 1 周期ごとに C と L の間を行き来することを使います。

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

2演習問題

1.複素数ふつう

z₁ = 4∠40°、z₂ = 1.5∠65° のとき、w = z₁·z₂ の偏角 θ を、−180° から 180° の間で、度で求めてください。

z₁ = 4∠40°z₂ = 1.5∠65°

θ = °

2.複素数むずかしい

点 A–D のうち、ちょうど 1 つが z³ = 8∠90° の解です。それをクリックしてください。

w = 8∠90°n = 3

1A (3.6∠90°)
2B (2∠30°)
3C (2∠0°)
4D (2∠90°)

3.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 100 µF

φ = °

4.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路の R = 15 Ω、L = 10 mH、C = 0.22 µF である。共振時の Q 値（尖鋭度）Q を求めよ。

R = 15 ΩL = 10 mHC = 0.22 µF

Q =

5.交流電力と力率ふつう

単相モーターが 230 V の電源から、遅れ力率 0.8 で 39 kW を消費する。線電流 I を求めよ。

P = 39 kWpf = 0.8V = 230 V

I = A

6.交流電力と力率むずかしい

12 V（実効値）、60 Hz の電源の内部インピーダンスは Z_s = 10 + j3 Ω である。負荷インピーダンス Z_L は自由に選べる。負荷に供給できる最大の有効電力 P_max を求めよ。

V_s = 12 V (rms)f = 60 HzZ_s = 10 + j3 Ω

P_max = W

7.LC 共振、Q 値、帯域幅ふつう

RLC 直列回路で R = 2 Ω、L = 47 µH、C = 2.2 µF です。帯域幅 BW を kHz で求めなさい。

R = 2 ΩL = 47 µHC = 2.2 µF

BW = kHz

8.LC 共振、Q 値、帯域幅むずかしい

充電した 220 nF のコンデンサが、全直列抵抗 2 Ω の 100 mH のコイルを通して放電するので、振動はゆっくり減衰します。振幅は e^−Rt/(2L) に従って減衰します。振幅が半分になるまでに、振動は何周期 n 起こりますか。（損失は小さいので、周波数は f₀ とします。）

L = 100 mHC = 220 nFR = 2 Ω

n =

9.三相電力ふつう

平衡三相負荷が、線間電圧 480 V の電源から線電流 100 A を流している。力率は遅れ 0.92 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 480 VI_L = 100 Acos φ = 0.92

P = kW

10.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、400 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.72 で 100 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 100 kWpf₁ = 0.72pf₂ = 0.95V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.RC・RL 過渡現象ふつう

電源 Vₛ は R₁ を通してコンデンサを充電し、R₂ は C と並列に接続されています。 t = 0 でスイッチが閉じるとき、コンデンサは充電されていない。スイッチを閉じた後の回路の時定数 τ を求めよ。

V_s = 10 VR₁ = 6.8 kΩR₂ = 3.3 kΩC = 10 µF

τ = ms

12.RC・RL 過渡現象むずかしい

スイッチは長い間閉じていたので、回路は定常状態にある。t = 0 にスイッチが開く。 t = 250 ms におけるコンデンサの電圧 v_C を求めよ。

V_s = 30 VR₁ = 10 kΩR₂ = 3.3 kΩC = 33 µFt = 250 ms

v_C = V

13.テブナン・ノートンふつう

端子 a–b から見たテブナン電圧 V_th を求めよ。

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 Ω

V_th = V

14.テブナン・ノートンむずかしい

a–b 間に負荷 R_L = 15 Ω を接続する。テブナン等価回路を使って、負荷で消費される電力 P_L を求めよ。

V₁ = 24 VI_s = 1 AR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 15 Ω

P_L = W

15.ボード線図と余裕ふつう

ω = 4 rad/s における G(s) = 665/((s + 5)(s + 19)) の正確な大きさ |G(jω)| を dB で求めよ。

G(s) = 665/((s + 5)(s + 19))ω = 4 rad/s

|G(jω)| = dB

16.ボード線図と余裕むずかしい

ユニティフィードバック系の開ループ伝達関数は L(s) = 660/(s(s + 10)) である。 |L(jω)| = 1 となるゲイン交差周波数 ω_c を求めよ。

L(s) = 660/(s(s + 10))

ω_c = rad/s

3溶液

1.複素数

答え: θ = 105 °

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

w の絶対値と偏角

|w| = 4 · 1.5 = 6

θ = 40° + 65° = 105°

偏角

θ = 105°

答え

θ = 105°

2.複素数

答え: B (2∠30°)

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

解の絶対値と偏角

|z| = 2

θ = 30°, 150°, −90°

その点

B = 2∠30°

答え

B (2∠30°)

3.交流インピーダンスとフェーザ

答え: φ = 12.12 °

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.02 = 25.13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (17.17)²) = 81.82 Ω

位相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(17.17/80) = 12.12°

答え

φ = 12.12°

4.交流インピーダンスとフェーザ

答え: Q = 14.21

共振周波数

f₀ = 1/(2π·√(0.01·0.22·10⁻⁶)) = 3393 Hz

Q 値

Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0.01/(0.22·10⁻⁶)) = 14.21

答え

Q = 14.21

5.交流電力と力率

答え: I = 212 A

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

線電流

仕事をするのは有効分だけなので、力率で割ります。

I = P/(V·cos φ) = 39000/(230·0.8) = 212 A

答え

I = 212 A

6.交流電力と力率

答え: P_max = 3.6 W

共役整合

負荷のリアクタンスは電源のリアクタンスを打ち消し、負荷抵抗は電源抵抗に等しくなります。

Z_L = Z_s* = 10 − j3 Ω

最大電力

I = V_s/(2R_s) = 12/20 = 0.6 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 12²/(4·10) = 3.6 W

答え

P_max = 3.6 W

7.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: BW = 6.773 kHz

Q 値と帯域幅：共振回路では Q = 2π·（蓄えられたエネルギー）/（1 周期に失われるエネルギー）です。RLC 直列では Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)、RLC 並列では Q = R/(ω₀L) = R√(C/L) です。半電力周波数 f₁ と f₂（電力が半分になり、電流または電圧がピークの 1/√2 になる周波数）の間の帯域幅は BW = f₂ − f₁ = f₀/Q で、直列では R/(2πL)、並列では 1/(2πRC) です。共振周波数は幾何平均 f₀ = √(f₁f₂) で、f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) です。損失は振動の減衰ももたらします：RLC 直列では振幅は e^−Rt/(2L) に従って減ります。

rad/s での帯域幅

R/L = 2/4.7 × 10⁻⁵ = 42553 rad/s

Hz での帯域幅

BW = 42553/(2π) = 6773 Hz = 6.773 kHz

答え

BW = 6.773 kHz

f₀ = 15.65 kHz なので、Q = 2.311 となります。

8.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: n = 74.38

振幅の半減期

t = 2·0.1·ln 2/2 = 0.06931 s

周期数

n = t·f₀ = 0.06931·1073 = 74.38

答え

n = 74.38

近道：Q = 337.1 を使って n = Q·ln 2/π。

9.三相電力

答え: P = 76.49 kW

皮相電力

S = √3·V_L·I_L = √3·480·100 = 83.14 kVA

有効電力

P = S·cos φ = 83.14·0.92 = 76.49 kW

答え

P = 76.49 kW

10.三相電力

答え: C_ph = 1264 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 100·tan(acos 0.72) = 100·0.9639 = 96.39 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0.95) = 100·0.3287 = 32.87 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 63.52 kvar

1 相あたりの静電容量

Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 21172/(314.2·230.9²) = 1264 µF

答え

C_ph = 1264 µF

11.RC・RL 過渡現象

答え: τ = 22.22 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

コンデンサから見たテブナン等価回路

電源を短絡して R_th を求め、コンデンサを開放して最終的に落ち着く電圧を求めます。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6.8·3.3/(6.8 + 3.3) = 2.222 kΩ

v_C(∞) = 10·3.3/(6.8 + 3.3) = 3.267 V

時定数

τ = R_th·C = 2.222·10 = 22.22 ms

答え

τ = 22.22 ms

12.RC・RL 過渡現象

答え: v_C = 0.7495 V

コンデンサの初期電圧

定常状態ではコンデンサは開放なので、R₁ と R₂ は分圧回路になります。スイッチが開いてもコンデンサの電圧は急変できません。

v_C(0) = 30·3.3/(10 + 3.3) = 7.444 V

スイッチが開いた後の時定数

τ = R₂·C = 3.3·33 = 108.9 ms

放電

v_C(t) = 7.444·e^−250/108.9 = 0.7495 V

答え

v_C = 0.7495 V

13.テブナン・ノートン

答え: V_th = 5.714 V

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 3·4/(3+4) = 1.714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.714 + 3 = 4.714 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·4/(3+4) = 5.714 V

14.テブナン・ノートン

答え: P_L = 9.55 W

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 10·8/(10+8) = 4.444 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.444 + 2 = 6.444 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 10.67 + 1·4.444 = 15.11 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 15.11 + 1·2 = 17.11 V

負荷をテブナン等価回路につなぐ

テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 17.11/(6.444 + 15) = 0.7979 A

P_L = I_L²·R_L = 0.7979²·15 = 9.55 W

15.ボード線図と余裕

答え: |G(jω)| = 14.57 dB

周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ω_c = 1/(RC) または R/L、f_c = ω_c/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)、φ = −atan(ω/ω_c) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jω_c)。位相交差周波数 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。

大きさを掛ける

|G(j4)| = 665/(√(4² + 5²)·√(4² + 19²)) = 665/(6.403·19.42) = 5.349

結果

20·log₁₀(5.349) = 14.57 dB

答え

|G(jω)| = 14.57 dB

16.ボード線図と余裕

答え: ω_c = 24.74 rad/s

ゲイン交差

ω⁴ + 100ω² − 435600 = 0

ω² = (−100 + √(10000 + 4·435600))/2 = 611.9

ω_c = 24.74 rad/s

答え

ω_c = 24.74 rad/s

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電気回路 II：交流回路：直前対策パック

1公式と解法

複素数

解き方

交流インピーダンスとフェーザ

解き方

交流電力と力率

LC 共振、Q 値、帯域幅

解き方

三相電力

RC・RL 過渡現象

解き方

テブナン・ノートン

解き方

2演習問題

3溶液

w の絶対値と偏角

偏角

答え

解の絶対値と偏角

その点

答え

リアクタンス

インピーダンス

位相角

答え

共振周波数

Q 値

答え

線電流

答え

共役整合

最大電力

答え

rad/s での帯域幅

Hz での帯域幅

答え

振幅の半減期

周期数

答え

皮相電力

有効電力

答え

改善前後の無効電力

コンデンサが供給する無効電力

1 相あたりの静電容量

答え

コンデンサから見たテブナン等価回路

時定数

答え

コンデンサの初期電圧

スイッチが開いた後の時定数

放電

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

負荷をテブナン等価回路につなぐ

大きさを掛ける

結果

答え

ゲイン交差

答え

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める