電気回路 II：交流回路：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC 共振、Q 値、帯域幅

固有振動数: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
エネルギー: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
ピーク電流: I_max = V₀√(C/L)
Q 値: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC 直列: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC 並列: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
帯域幅: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
半電力周波数: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
コイル抵抗 r をもつタンク回路: R_D = L/(C·r) = Q²·r
振幅の減衰: e^−Rt/(2L)

解き方

まず共振周波数を求めます：ω₀ = 1/√(LC)、f₀ = ω₀/(2π)。
回路が直列か並列かを判断します：直列は Q = (1/R)√(L/C)、並列は Q = R√(C/L)。
帯域幅は BW = f₀/Q で求めるか、近道の公式 R/(2πL)（直列）、1/(2πRC)（並列）を使います。
エネルギーの問題では、理想的な LC 回路の全エネルギー ½CV₀² が一定で、4 分の 1 周期ごとに C と L の間を行き来することを使います。

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

2演習問題

1.複素数ふつう

z = −6 + j9 を指数形式 r·e^jθ で表してください。θ をラジアンで、−π から π の間で答えてください。

z = −6 + j9

θ = rad

2.複素数むずかしい

z³ − 4z² − 2z + 20 = 0 の解の 1 つは z₁ = 3 + j です。係数は実数です。実数の解 r を求めてください。

z₁ = 3 + j

r =

3.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 47 µF

φ = °

4.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。コンデンサの両端電圧の実効値 V_C を求めよ。

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 10 µF

V_C = V

5.交流電力と力率ふつう

単相モーターが 230 V の電源から、遅れ力率 0.75 で 37 kW を消費する。モーターの無効電力 Q を求めよ。

P = 37 kWpf = 0.75V = 230 V

Q = kvar

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 230 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.75 で 10 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.98 に改善する。必要な静電容量 C を求めよ。

P = 10 kWpf₁ = 0.75pf₂ = 0.98V = 230 Vf = 50 Hz

C = µF

7.LC 共振、Q 値、帯域幅ふつう

RLC 並列回路で R = 22 kΩ、L = 4.7 mH、C = 47 pF です。Q 値 Q を求めなさい。

R = 22 kΩL = 4.7 mHC = 47 pF

Q =

8.LC 共振、Q 値、帯域幅むずかしい

共振曲線の半電力周波数は 5 kHz と 5.5 kHz です。共振周波数をその幾何平均として求め、次に Q 値 Q を求めなさい。

f₁ = 5 kHzf₂ = 5.5 kHz

Q =

9.三相電力ふつう

平衡三相負荷が、線間電圧 480 V の電源から線電流 80 A を流している。力率は遅れ 0.95 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 480 VI_L = 80 Acos φ = 0.95

P = kW

10.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、480 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 120 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 120 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.95V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。回路が落ち着いた後にコイルに蓄えられているエネルギー W(∞) を mJ で求めよ。

V_s = 12 VR = 33 ΩL = 68 mH

W(∞) = mJ

12.RC・RL 過渡現象むずかしい

R₂ の両端のスイッチは長い間開いていたので、コイルの電流は定常である。t = 0 にスイッチが閉じて R₂ を短絡する。 t = 0 からどれだけ後に、コイルの電流は 0.563 A に達するか。t を求めよ。

V_s = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 33 ΩL = 150 mH

t = ms

13.テブナン・ノートンふつう

ノートン電流 I_N を求めよ：端子を短絡したとき a から b へ流れる電流。

V₁ = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 3 Ω

I_N = A

14.テブナン・ノートンむずかしい

端子 a–b から見たテブナン電圧 V_th を求めよ。

V₁ = 12 VI_s = 6 AR₁ = 4 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 5 Ω

V_th = V

15.ボード線図と余裕ふつう

図の直列 RLC バンドパスフィルタでは、出力は R = 50 Ω の両端でとり、L = 2 mH、C = 0.22 µF である。 Q 値 Q を求めよ。

R = 50 ΩL = 2 mHC = 0.22 µF

Q =

16.ボード線図と余裕むずかしい

ユニティフィードバック系の開ループ伝達関数は L(s) = 160/(s(s + 20)) である。 |L(jω)| = 1 となるゲイン交差周波数 ω_c を求めよ。

L(s) = 160/(s(s + 20))

ω_c = rad/s

3溶液

1.複素数

答え: θ = 2.159 rad

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

絶対値

r = √(36 + 81) = 10.82

ラジアンでの偏角

θ = 123.7° = 123.7·π/180 = 2.159 rad

指数形式

z = 10.82·e^j2.159

答え

θ = 2.159 rad

2.複素数

答え: r = −2

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

共役な対

z₂ = 3 − j

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·3·z + (3² + 1²) = z² − 6z + 10

2 次式でくくり出す

z³ − 4z² − 2z + 20 = (z² − 6z + 10)(z + 2)

実数の解

r = −2

答え

r = −2

解の和で確かめましょう：z₁ + z₂ + r = 6 + (−2) = 4 = −(−4)。

3.交流インピーダンスとフェーザ

答え: φ = 85 °

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.15 = 188.5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (171.6)²) = 172.2 Ω

位相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(171.6/15) = 85°

答え

φ = 85°

4.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_C = 814.1 V

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.2 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·10·10⁻⁶) = 159.2 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−33.49)²) = 44.96 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 230/44.96 = 5.115 A

コンデンサの電圧

V_C = I·X_C = 5.115·159.2 = 814.1 V

答え

V_C = 814.1 V

5.交流電力と力率

答え: Q = 32.63 kvar

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

位相角

φ = arccos(0.75) = 41.41°, tan φ = 0.8819

無効電力

Q = P·tan φ = 37·0.8819 = 32.63 kvar

答え

Q = 32.63 kvar

6.交流電力と力率

答え: C = 408.5 µF

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = P·tan φ₁ = 10·tan(41.41°) = 8.819 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 10·tan(11.48°) = 2.031 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 6.789 kvar

静電容量

電源に並列につないだコンデンサは Q = V²·ωC を供給します。

C = Q_C/(2πf·V²) = 6789/(2π·50·230²) = 408.5 µF

答え

C = 408.5 µF

7.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: Q = 2.2

Q 値と帯域幅：共振回路では Q = 2π·（蓄えられたエネルギー）/（1 周期に失われるエネルギー）です。RLC 直列では Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)、RLC 並列では Q = R/(ω₀L) = R√(C/L) です。半電力周波数 f₁ と f₂（電力が半分になり、電流または電圧がピークの 1/√2 になる周波数）の間の帯域幅は BW = f₂ − f₁ = f₀/Q で、直列では R/(2πL)、並列では 1/(2πRC) です。共振周波数は幾何平均 f₀ = √(f₁f₂) で、f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) です。損失は振動の減衰ももたらします：RLC 直列では振幅は e^−Rt/(2L) に従って減ります。

共振周波数

ω₀ = 1/√(LC) = 2.128 × 10⁶ rad/s

Q 値

Q = R/(ω₀L) = 22000/(2.128 × 10⁶·0.0047) = 2.2

答え

Q = 2.2

帯域幅は 1/(2πRC) = 153.9 kHz です。

8.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: Q = 10.49

共振周波数

f₀ = √(5000·5500) = 5244 Hz

帯域幅

BW = 5500 − 5000 = 500 Hz

Q 値

Q = 5244/500 = 10.49

答え

Q = 10.49

9.三相電力

答え: P = 63.19 kW

皮相電力

S = √3·V_L·I_L = √3·480·80 = 66.51 kVA

有効電力

P = S·cos φ = 66.51·0.95 = 63.19 kW

答え

P = 63.19 kW

10.三相電力

答え: C_ph = 232.8 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 120·tan(acos 0.8) = 120·0.75 = 90 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0.95) = 120·0.3287 = 39.44 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 50.56 kvar

1 相あたりの静電容量

Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。

V = 480 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 16853/(314.2·480²) = 232.8 µF

答え

C_ph = 232.8 µF

11.RC・RL 過渡現象

答え: W(∞) = 4.496 mJ

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2.061 ms

i(∞) = V_s/R = 12/33 = 0.3636 A

蓄積エネルギー

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·68·0.3636² = 4.496 mJ

答え

W(∞) = 4.496 mJ

12.RC・RL 過渡現象

答え: t = 6.864 ms

初期値、最終値、時定数

t = 0 より前は両方の抵抗がループにありますが、その後は閉じたスイッチが R₂ を短絡します。

i(0) = 15/(20 + 33) = 0.283 A

i(∞) = 15/20 = 0.75 A

τ = L/R = 150/20 = 7.5 ms

i(t) = 0.75 + (0.283 − 0.75)·e^−t/τ

時間について解く

e^−t/τ = (0.563 − 0.75)/(0.283 − 0.75) = 0.4004

t = 7.5·ln(2.497) = 6.864 ms

答え

t = 6.864 ms

13.テブナン・ノートン

答え: I_N = 2.526 A

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 5·10/(5+10) = 3.333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.333 + 3 = 6.333 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·10/(5+10) = 16 V

ノートン等価回路

ノートン電源は、同じ回路を R_th と並列な電流源として見たものです。その電流は a–b の短絡電流です。

I_N = V_th/R_th = 16/6.333 = 2.526 A

14.テブナン・ノートン

答え: V_th = −40.59 V

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 4·30/(4+30) = 3.529 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.529 + 5 = 8.529 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 10.59 + (−6)·3.529 = −10.59 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −10.59 + (−6)·5 = −40.59 V

15.ボード線図と余裕

答え: Q = 1.907

周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ω_c = 1/(RC) または R/L、f_c = ω_c/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)、φ = −atan(ω/ω_c) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jω_c)。位相交差周波数 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。

共振周波数

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.002·2.2 × 10⁻⁷) = 47673 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 7587 Hz

Q 値

BW = R/L = 50/0.002 = 25000 rad/s = 3979 Hz

Q = ω₀/BW = 47673/25000 = 1.907

答え

Q = 1.907

16.ボード線図と余裕

答え: ω_c = 7.492 rad/s

ゲイン交差

ω⁴ + 400ω² − 25600 = 0

ω² = (−400 + √(160000 + 4·25600))/2 = 56.12

ω_c = 7.492 rad/s

答え

ω_c = 7.492 rad/s

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電気回路 II：交流回路：直前対策パック

1公式と解法

複素数

解き方

交流インピーダンスとフェーザ

解き方

交流電力と力率

LC 共振、Q 値、帯域幅

解き方

三相電力

RC・RL 過渡現象

解き方

テブナン・ノートン

解き方

2演習問題

3溶液

絶対値

ラジアンでの偏角

指数形式

答え

共役な対

2 次式でくくり出す

実数の解

答え

リアクタンス

インピーダンス

位相角

答え

リアクタンス

インピーダンス

電流

コンデンサの電圧

答え

位相角

無効電力

答え

改善前後の無効電力

静電容量

答え

共振周波数

Q 値

答え

共振周波数

帯域幅

Q 値

答え

皮相電力

有効電力

答え

改善前後の無効電力

コンデンサが供給する無効電力

1 相あたりの静電容量

答え

時定数と最終電流

蓄積エネルギー

答え

初期値、最終値、時定数

時間について解く

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

ノートン等価回路

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

共振周波数

Q 値

答え

ゲイン交差

答え

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める