電気回路 II：交流回路：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC 共振、Q 値、帯域幅

固有振動数: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
エネルギー: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
ピーク電流: I_max = V₀√(C/L)
Q 値: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC 直列: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC 並列: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
帯域幅: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
半電力周波数: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
コイル抵抗 r をもつタンク回路: R_D = L/(C·r) = Q²·r
振幅の減衰: e^−Rt/(2L)

解き方

まず共振周波数を求めます：ω₀ = 1/√(LC)、f₀ = ω₀/(2π)。
回路が直列か並列かを判断します：直列は Q = (1/R)√(L/C)、並列は Q = R√(C/L)。
帯域幅は BW = f₀/Q で求めるか、近道の公式 R/(2πL)（直列）、1/(2πRC)（並列）を使います。
エネルギーの問題では、理想的な LC 回路の全エネルギー ½CV₀² が一定で、4 分の 1 周期ごとに C と L の間を行き来することを使います。

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

2演習問題

1.複素数ふつう

z = 4∠125° を直交形式 a + jb で表し、虚部 b を答えてください。

r = 4θ = 125°

b =

2.複素数むずかしい

z² + 3z + 18.25 = 0 を解いてください。解は a ± jb です。b > 0 を求めてください。

p = 3q = 18.25

b =

3.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 50 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。回路の力率 cos φ を求めよ。

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 10 µF

cos φ =

4.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 1 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 V_L を求めよ。

V = 1 V (rms)R = 20 ΩL = 5 mHC = 1 µF

V_L = V

5.交流電力と力率ふつう

単相モーターが 240 V の電源から、遅れ力率 0.85 で 40 kW を消費する。線電流 I を求めよ。

P = 40 kWpf = 0.85V = 240 V

I = A

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 230 V、60 Hz の電源から、遅れ力率 0.7 で 13 kW を消費する。150 µF のコンデンサを負荷と並列に接続する。新しい線電流 I を求めよ。

P = 13 kWpf₁ = 0.7V = 230 Vf = 60 HzC = 150 µF

I = A

7.LC 共振、Q 値、帯域幅ふつう

RLC 並列回路で R = 1 kΩ、L = 2.2 mH、C = 100 nF です。Q 値 Q を求めなさい。

R = 1 kΩL = 2.2 mHC = 100 nF

Q =

8.LC 共振、Q 値、帯域幅むずかしい

全抵抗 50 Ω、共振周波数 100 kHz、帯域幅 2 kHz の RLC 直列フィルタを設計します。静電容量 C を nF で求めなさい。

R = 50 Ωf₀ = 100 kHzBW = 2 kHz

C = nF

9.三相電力ふつう

平衡三相負荷が、線間電圧 480 V の電源から線電流 40 A を流している。力率は遅れ 0.9 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 480 VI_L = 40 Acos φ = 0.9

P = kW

10.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、480 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 80 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.98 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 Q_C を kvar で求めよ。

P = 80 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.98V_L = 480 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。スイッチを閉じてからどれだけ後に、電流が最終値の 90% に達するか。t を求めよ。

V_s = 5 VR = 33 ΩL = 68 mH

t = ms

12.RC・RL 過渡現象むずかしい

R₂ の両端のスイッチは長い間開いていたので、コイルの電流は定常である。t = 0 にスイッチが閉じて R₂ を短絡する。 t = 5 ms でのコイルの電流 i を求めよ。

V_s = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩL = 47 mHt = 5 ms

i = A

13.テブナン・ノートンふつう

ノートン電流 I_N を求めよ：端子を短絡したとき a から b へ流れる電流。

V₁ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 Ω

I_N = A

14.テブナン・ノートンむずかしい

a–b 間に負荷 R_L = 6 Ω を接続する。回路の残りをテブナン等価回路に置き換え、負荷電流 I_L を求めよ。

V₁ = 15 VI_s = 5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 ΩR_L = 6 Ω

I_L = A

15.ボード線図と余裕ふつう

図の直列 RLC バンドパスフィルタでは、出力は R = 5 Ω の両端でとり、L = 5 mH、C = 0.22 µF である。 Q 値 Q を求めよ。

R = 5 ΩL = 5 mHC = 0.22 µF

Q =

16.ボード線図と余裕むずかしい

ユニティフィードバック系の開ループ伝達関数は L(s) = 26/(s(s + 4)) である。位相余裕 PM を度で求めよ。

L(s) = 26/(s(s + 4))

PM = °

3溶液

1.複素数

答え: b = 3.277

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

成分

a = 4·cos(125°) = −2.294

b = 4·sin(125°) = 3.277

直交形式

z = −2.294 + j3.277

b = 3.277

答え

b = 3.277

2.複素数

答え: b = 4

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

判別式

p² − 4q = 9 − 73 = −64 < 0

2 次方程式の解の公式

z = (−3 ± j√64)/2 = −1.5 + j4, −1.5 − j4

答え

b = 4

答え

b = 4

3.交流インピーダンスとフェーザ

答え: cos φ = 0.1381

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_L = 31.42 Ω, X_C = 318.3 Ω

インピーダンス

|Z| = √(40² + (−286.9)²) = 289.7 Ω

力率

cos φ = R/|Z| = 40/289.7 = 0.1381

回路は容量性なので、力率は進みです。

答え

cos φ = 0.1381

4.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_L = 3.536 V

共振

共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·1·10⁻⁶) = 14142 rad/s

I = V/R = 1/20 = 0.05 A

コイルの両端の電圧

X_L = ω₀L = 14142·0.005 = 70.71 Ω

V_L = I·X_L = 0.05·70.71 = 3.536 V

答え

V_L = 3.536 V

これは電源電圧の Q = 3.536 倍です。

5.交流電力と力率

答え: I = 196.1 A

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

線電流

仕事をするのは有効分だけなので、力率で割ります。

I = P/(V·cos φ) = 40000/(240·0.85) = 196.1 A

答え

I = 196.1 A

6.交流電力と力率

答え: I = 72.03 A

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = 13·tan(arccos 0.7) = 13.26 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·60·150·10⁻⁶ = 2991 var = 2.991 kvar

Q₂ = 13.26 − 2.991 = 10.27 kvar

新しい皮相電力

S₂ = √(13² + 10.27²) = 16.57 kVA

新しい線電流

I = S₂/V = 16568/230 = 72.03 A

答え

I = 72.03 A

7.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: Q = 6.742

Q 値と帯域幅：共振回路では Q = 2π·（蓄えられたエネルギー）/（1 周期に失われるエネルギー）です。RLC 直列では Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)、RLC 並列では Q = R/(ω₀L) = R√(C/L) です。半電力周波数 f₁ と f₂（電力が半分になり、電流または電圧がピークの 1/√2 になる周波数）の間の帯域幅は BW = f₂ − f₁ = f₀/Q で、直列では R/(2πL)、並列では 1/(2πRC) です。共振周波数は幾何平均 f₀ = √(f₁f₂) で、f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) です。損失は振動の減衰ももたらします：RLC 直列では振幅は e^−Rt/(2L) に従って減ります。

共振周波数

ω₀ = 1/√(LC) = 67420 rad/s

Q 値

Q = R/(ω₀L) = 1000/(67420·0.0022) = 6.742

答え

Q = 6.742

帯域幅は 1/(2πRC) = 1.592 kHz です。

8.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: C = 0.6366 nF

帯域幅から求めるインダクタンス

L = R/(2π·BW) = 50/(2π·2000) = 0.003979 H

共振周波数から求める静電容量

C = 1/((2π·100000)²·0.003979) = 6.366 × 10⁻¹⁰ F = 0.6366 nF

答え

C = 0.6366 nF

Q = f₀/BW = 50。

9.三相電力

答え: P = 29.93 kW

皮相電力

S = √3·V_L·I_L = √3·480·40 = 33.26 kVA

有効電力

P = S·cos φ = 33.26·0.9 = 29.93 kW

答え

P = 29.93 kW

10.三相電力

答え: Q_C = 65.37 kvar

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 80·tan(acos 0.7) = 80·1.02 = 81.62 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0.98) = 80·0.2031 = 16.24 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 65.37 kvar

答え

Q_C = 65.37 kvar

11.RC・RL 過渡現象

答え: t = 4.745 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2.061 ms

i(∞) = V_s/R = 5/33 = 0.1515 A

時間について解く

0.9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)

t = −2.061·ln(0.1) = 4.745 ms

答え

t = 4.745 ms

12.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.6329 A

初期値、最終値、時定数

t = 0 より前は両方の抵抗がループにありますが、その後は閉じたスイッチが R₂ を短絡します。

i(0) = 10/(15 + 5) = 0.5 A

i(∞) = 10/15 = 0.6667 A

τ = L/R = 47/15 = 3.133 ms

i(t) = 0.6667 + (0.5 − 0.6667)·e^−t/τ

指定時刻の電流

i(5) = 0.6667 + (−0.1667)·e^−5/3.133 = 0.6329 A

答え

i = 0.6329 A

13.テブナン・ノートン

答え: I_N = 0.5 A

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 12·6/(12+6) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 8 = 12 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·6/(12+6) = 6 V

ノートン等価回路

ノートン電源は、同じ回路を R_th と並列な電流源として見たものです。その電流は a–b の短絡電流です。

I_N = V_th/R_th = 6/12 = 0.5 A

14.テブナン・ノートン

答え: I_L = 3.883 A

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 8·12/(8+12) = 4.8 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.8 + 8 = 12.8 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 9 + 5·4.8 = 33 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 33 + 5·8 = 73 V

負荷をテブナン等価回路につなぐ

テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 73/(12.8 + 6) = 3.883 A

15.ボード線図と余裕

答え: Q = 30.15

周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ω_c = 1/(RC) または R/L、f_c = ω_c/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)、φ = −atan(ω/ω_c) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jω_c)。位相交差周波数 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。

共振周波数

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·2.2 × 10⁻⁷) = 30151 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 4799 Hz

Q 値

BW = R/L = 5/0.005 = 1000 rad/s = 159.2 Hz

Q = ω₀/BW = 30151/1000 = 30.15

答え

Q = 30.15

16.ボード線図と余裕

答え: PM = 42.39 °

ゲイン交差

ω⁴ + 16ω² − 676 = 0

ω² = (−16 + √(256 + 4·676))/2 = 19.2

ω_c = 4.382 rad/s

位相余裕

∠L(jω_c) = −90° − atan(4.382/4) = −137.6°

PM = 180° + ∠L = 42.39°

答え

PM = 42.39°

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電気回路 II：交流回路：直前対策パック

1公式と解法

複素数

解き方

交流インピーダンスとフェーザ

解き方

交流電力と力率

LC 共振、Q 値、帯域幅

解き方

三相電力

RC・RL 過渡現象

解き方

テブナン・ノートン

解き方

2演習問題

3溶液

成分

直交形式

答え

判別式

2 次方程式の解の公式

答え

答え

リアクタンス

インピーダンス

力率

答え

共振

コイルの両端の電圧

答え

線電流

答え

改善前後の無効電力

新しい皮相電力

新しい線電流

答え

共振周波数

Q 値

答え

帯域幅から求めるインダクタンス

共振周波数から求める静電容量

答え

皮相電力

有効電力

答え

改善前後の無効電力

コンデンサが供給する無効電力

答え

時定数と最終電流

時間について解く

答え

初期値、最終値、時定数

指定時刻の電流

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

ノートン等価回路

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

負荷をテブナン等価回路につなぐ

共振周波数

Q 値

答え

ゲイン交差

位相余裕

答え

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める