電気回路 II：交流回路：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

複素数

直交形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
割り算
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

  1. 演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
  2. 展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
  3. 変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
  4. 冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

交流電力と力率

有効電力
P = V·I·cos φ
無効電力
Q = V·I·sin φ
皮相電力
S = V·I = √(P² + Q²)
力率
pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 共振、Q 値、帯域幅

固有振動数
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
エネルギー
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
ピーク電流
Imax = V0√(C/L)
Q 値
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC 直列
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC 並列
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
帯域幅
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半電力周波数
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
コイル抵抗 r をもつタンク回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅の減衰
e−Rt/(2L)

解き方

  1. まず共振周波数を求めます：ω₀ = 1/√(LC)、f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 回路が直列か並列かを判断します：直列は Q = (1/R)√(L/C)、並列は Q = R√(C/L)。
  3. 帯域幅は BW = f₀/Q で求めるか、近道の公式 R/(2πL)（直列）、1/(2πRC)（並列）を使います。
  4. エネルギーの問題では、理想的な LC 回路の全エネルギー ½CV₀² が一定で、4 分の 1 周期ごとに C と L の間を行き来することを使います。

三相電力

Y 結線
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 結線
VL = Vph, IL = √3·Iph
全有効電力
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
皮相電力と無効電力
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧
Δ：VL Y：VL/√3
モーターの入力
Pin = Pout/η

RC・RL 過渡現象

時定数
τ = RC | τ = L/R
応答
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流でのコンデンサ
開放；vC は急変しない
直流でのインダクタ
短絡；iL は急変しない
定常値
t ≈ 5τ

解き方

  1. 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
  2. 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
  3. 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。

テブナン・ノートン

テブナン電圧
Vth = Vopen circuit
テブナン抵抗
Rth：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流
IN = Vth/Rth
負荷電流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大電力伝送
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

解き方

  1. 負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
  2. a と b の間の開放電圧を求めます：これが Vth です。
  3. 独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが Rth です。
  4. 負荷を等価回路に戻します：Vth と Rth の直列です。
  5. ノートン等価回路には変換します：IN = Vth/Rth、RN = Rth を並列に接続します。

2演習問題

1.複素数ふつう
ReIm55−5−51010−10−10zABCD

図には z = −4 − j が示されています。w = 0.5∠−90° とするとき、z/w を表す点をクリックしてください。

z = −4 − jw = 0.5∠−90°
  1. 1A (−2 + j8)
  2. 2B (1 − j4)
  3. 3C (2 − j8)
  4. 4D (−8 − j2)
2.複素数むずかしい
ReIm11−1−122−2−233−3−3ABCD

点 A–D のうち、ちょうど 1 つが z⁶ = 729∠120° の解です。それをクリックしてください。

w = 729∠120°n = 6
  1. 1A (1.5∠−100°)
  2. 2B (3∠100°)
  3. 3C (3∠−70°)
  4. 4D (3∠−100°)
3.交流インピーダンスとフェーザふつう
120 V200 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 22 µFI

直列 RLC 回路を 120 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 22 µF
I = A
4.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
24 V100 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 22 µFI

直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 22 µF
I = A
5.交流電力と力率ふつう
P = 18 kWQSφ

単相モーターが 400 V の電源から、遅れ力率 0.85 で 18 kW を消費する。 線電流 I を求めよ。

P = 18 kWpf = 0.85V = 400 V
I = A
6.交流電力と力率むずかしい
P = 45 kWQ1​S1​φ1​QC​

単相負荷が 230 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 45 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.95 に改善する。 新しい線電流 Inew を求めよ。

P = 45 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.95V = 230 Vf = 50 Hz
Inew = A
7.LC 共振、Q 値、帯域幅ふつう
tvC​iL​T/4 = ?T/2TL = 0.47 µHC = 2.2 µF

理想的な LC 回路で L = 0.47 µH、C = 2.2 µF とし、t = 0 でコンデンサが満充電されています。エネルギーがすべてインダクタに移るまでにどれだけかかりますか。t を µs で答えなさい。

L = 0.47 µHC = 2.2 µF
t = µs
8.LC 共振、Q 値、帯域幅むずかしい
V10 Ω470 µH470 pF10 mA

RLC 直列回路（R = 10 Ω、L = 470 µH、C = 470 pF）を共振で駆動し、電流の振幅は 10 mA です。1 周期の間に R で消費されるエネルギー Ecycle を nJ で求めなさい。

R = 10 ΩL = 470 µHC = 470 pFIm = 10 mA
Ecycle = nJ
9.三相電力ふつう
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M55 kW, η = 93%cos φ = 0.88

三相誘導電動機が全負荷で 55 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 93%、力率は遅れ 0.88 である。電源の線間電圧は 400 V である。線電流 IL を求めよ。

Pout = 55 kWη = 93%cos φ = 0.88VL = 400 V
IL = A
10.三相電力むずかしい
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

平衡三相負荷が、480 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.65 で 60 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。

P = 60 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.95VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC・RL 過渡現象ふつう
+−Vs​20 Vt = 0R = 50 ΩL100 mHi(t)

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 5 ms におけるコイルの電圧 vL を求めよ。

Vs = 20 VR = 50 ΩL = 100 mHt = 5 ms
vL = V
12.RC・RL 過渡現象むずかしい
+−Vs​20 Vt = 0R = 1 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 24 V

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 24 V に充電されている。 vC が 21.6 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。

Vs = 20 VR = 1 kΩC = 220 µFvC(0) = 24 V
t = ms
13.テブナン・ノートンふつう
R1​ = 6 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩAab

端子 a–b から見たテブナン電圧 Vth を求めよ。

V1 = 10 VR1 = 6 ΩR2 = 2 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V
14.テブナン・ノートンむずかしい
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAIs​5 ABab

端子 a–b から見たテブナン電圧 Vth を求めよ。

V1 = 30 VIs = 5 AR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 8 Ω
Vth = V
15.ボード線図と余裕ふつう
vin​L = 20 mHC = 0.1 µFR = 20 Ωvout​

図の直列 RLC バンドパスフィルタでは、出力は R = 20 Ω の両端でとり、L = 20 mH、C = 0.1 µF である。 Q 値 Q を求めよ。

R = 20 ΩL = 20 mHC = 0.1 µF
Q =
16.ボード線図と余裕むずかしい
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

ユニティフィードバック系の開ループ伝達関数は L(s) = K/(s(s + 8)(s + 10)) である。 ゲイン余裕が 15 dB となるゲイン K を求めよ。

L(s) = K/(s(s + 8)(s + 10))GM = 15 dB
K =

3溶液

1.複素数

答え: C (2 − j8)

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

w の効果

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − (−90)°

その点

z/w = 2 − j8 → C

答え

C (2 − j8)
2.複素数

答え: D (3∠−100°)

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

解の絶対値と偏角

|z| = 3
θ = 20°, 80°, 140°, −160°, −100°, −40°

その点

D = 3∠−100°

答え

D (3∠−100°)
3.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.5372 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.2 = 251.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36.17 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (215.2)²) = 223.4 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 120/223.4 = 0.5372 A

答え

I = 0.5372 A
4.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.3807 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.02 = 12.57 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−59.78)²) = 63.03 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 24/63.03 = 0.3807 A

答え

I = 0.3807 A
5.交流電力と力率

答え: I = 52.94 A

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

線電流

仕事をするのは有効分だけなので、力率で割ります。

I = P/(V·cos φ) = 18000/(400·0.85) = 52.94 A

答え

I = 52.94 A
6.交流電力と力率

答え: Inew = 205.9 A

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(36.87°) = 33.75 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(18.19°) = 14.79 kvar
QC = Q1 − Q2 = 18.96 kvar

新しい線電流

Inew = P/(V·cos φ2) = 45000/(230·0.95) = 205.9 A

答え

Inew = 205.9 A
7.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: t = 1.597 µs

LC 共振：充電したコンデンサをインダクタにつなぐと、電流が流れて逆向きに充電されます：エネルギーは、固有周波数 f0 = 1/(2π√(LC)) で C の電界（½Cv²）と L の磁界（½Li²）の間を行き来します。抵抗がなければ全エネルギー ½CV0² は一定なので、ピーク電流は Imax = V0√(C/L) です。1 周期は T = 1/f0 で、エネルギーはその 4 分の 1 の時間で C から L に移ります。

周期

T = 2π√(4.7 × 10⁻⁷·2.2 × 10⁻⁶) = 6.389 µs

4 分の 1 周期

t = T/4 = 1.597 µs

答え

t = 1.597 µs
8.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: Ecycle = 1.477 nJ

Q 値と帯域幅：共振回路では Q = 2π·（蓄えられたエネルギー）/（1 周期に失われるエネルギー）です。RLC 直列では Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)、RLC 並列では Q = R/(ω0L) = R√(C/L) です。半電力周波数 f1 と f2（電力が半分になり、電流または電圧がピークの 1/√2 になる周波数）の間の帯域幅は BW = f2 − f1 = f0/Q で、直列では R/(2πL)、並列では 1/(2πRC) です。共振周波数は幾何平均 f0 = √(f1f2) で、f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) です。損失は振動の減衰ももたらします：RLC 直列では振幅は e−Rt/(2L) に従って減ります。

蓄積エネルギー

W = ½·0.00047·0.01² = 2.35 × 10⁻⁸ J

Q 値

Q = (1/10)·√(0.00047/4.7 × 10⁻¹⁰) = 100

1 周期に失われるエネルギー

Ecycle = 2π·W/Q = 2π·2.35 × 10⁻⁸/100 = 1.477 × 10⁻⁹ J = 1.477 nJ
確認: ½·0.01²·10/338628 = 1.477 × 10⁻⁹ J

答え

Ecycle = 1.477 nJ
9.三相電力

答え: IL = 97 A

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

電気入力

Pin = Pout/η = 55/0.93 = 59.14 kW

線電流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 59140/(√3·400·0.88) = 97 A

答え

IL = 97 A
10.三相電力

答え: Cph = 580.6 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q1 = 60·tan(acos 0.65) = 60·1.169 = 70.15 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0.95) = 60·0.3287 = 19.72 kvar

コンデンサが供給する無効電力

QC = Q1 − Q2 = 50.43 kvar

1 相あたりの静電容量

Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。

V = 480/√3 = 277.1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 16809/(377·277.1²) = 580.6 µF

答え

Cph = 580.6 µF
11.RC・RL 過渡現象

答え: vL = 1.642 V

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms
i(∞) = Vs/R = 20/50 = 0.4 A

コイルの電圧

t = 0 では電源電圧がすべてコイルにかかり、その後 0 まで減衰します。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 20·e−5/2 = 1.642 V

答え

vL = 1.642 V
12.RC・RL 過渡現象

答え: t = 201.6 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

vC(0) = 24 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 1 kΩ · 220 µF = 220 ms
vC(t) = 20 + (24 − 20)·e−t/τ

時間について解く

21.6 = 20 + (4)·e−t/τ → e−t/τ = (21.6 − 20)/(24 − 20) = 0.4
t = τ·ln((24 − 20)/(21.6 − 20)) = 220·ln(2.5) = 201.6 ms

答え

t = 201.6 ms
13.テブナン・ノートン

答え: Vth = 2.5 V

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。

R1​ = 6 ΩR3​ = 20 Ω短絡R2​2 ΩAabRth​

すべての電源を止めて Rth を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R1 ∥ R2 = 6·2/(6+2) = 1.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.5 + 20 = 21.5 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩAab+−Vth​

開放電圧 Vth を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·2/(6+2) = 2.5 V
14.テブナン・ノートン

答え: Vth = 66.25 V

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。

R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω短絡R2​5 ΩA開放BabRth​

すべての電源を止めて Rth を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R1 ∥ R2 = 15·5/(15+5) = 3.75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.75 + 8 = 11.75 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

開放電圧 Vth を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7.5 + 5·3.75 = 26.25 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 26.25 + 5·8 = 66.25 V
15.ボード線図と余裕

答え: Q = 22.36

周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ωc = 1/(RC) または R/L、fc = ωc/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)、φ = −atan(ω/ωc) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jωc)。位相交差周波数 ω180：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。

共振周波数

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·1 × 10⁻⁷) = 22361 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 3559 Hz

Q 値

BW = R/L = 20/0.02 = 1000 rad/s = 159.2 Hz
Q = ω₀/BW = 22361/1000 = 22.36

答え

Q = 22.36
16.ボード線図と余裕

答え: K = 256.1

周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ωc = 1/(RC) または R/L、fc = ωc/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)、φ = −atan(ω/ωc) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jωc)。位相交差周波数 ω180：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。

位相交差

(ω/8)·(ω/10) = 1 → ω180 = √(8·10) = 8.944 rad/s

位相交差での大きさ

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 64)·√(ω² + 100)) = K/(8·10·(8 + 10)) = K/1440

必要なゲイン

1440/K = 1015/20 = 5.623
K = 1440/5.623 = 256.1

答え

K = 256.1

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