電気回路 II：交流回路：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC 共振、Q 値、帯域幅

固有振動数: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
エネルギー: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
ピーク電流: I_max = V₀√(C/L)
Q 値: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC 直列: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC 並列: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
帯域幅: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
半電力周波数: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
コイル抵抗 r をもつタンク回路: R_D = L/(C·r) = Q²·r
振幅の減衰: e^−Rt/(2L)

解き方

まず共振周波数を求めます：ω₀ = 1/√(LC)、f₀ = ω₀/(2π)。
回路が直列か並列かを判断します：直列は Q = (1/R)√(L/C)、並列は Q = R√(C/L)。
帯域幅は BW = f₀/Q で求めるか、近道の公式 R/(2πL)（直列）、1/(2πRC)（並列）を使います。
エネルギーの問題では、理想的な LC 回路の全エネルギー ½CV₀² が一定で、4 分の 1 周期ごとに C と L の間を行き来することを使います。

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

2演習問題

1.複素数ふつう

図には z = 2 + j2 が示されています。w = 0.5∠90° とするとき、z/w を表す点をクリックしてください。

z = 2 + j2w = 0.5∠90°

1A (4 + j4)
2B (−4 + j4)
3C (1 − j)
4D (4 − j4)

2.複素数むずかしい

ド・モアブルの定理を使って、z = −2 − j2 のときの z⁸ の実部を求めてください。

z = −2 − j2n = 8

Re(z⁸) =

3.交流インピーダンスとフェーザふつう

抵抗とコンデンサが並列に、100 V（実効値）、500 Hz の電源に接続されている。インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩC = 10 µF

φ = °

4.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。回路の共振周波数 f₀ を求めよ。

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 150 mHC = 2.2 µF

f₀ = Hz

5.交流電力と力率ふつう

インピーダンス Z = 20 + j15 Ω の負荷が 120 V（実効値）の単相電源に接続されている。皮相電力 S を求めよ。

V = 120 VZ = 20 + j15 Ω

S = VA

6.交流電力と力率むずかしい

100 kVA の単相変圧器が、遅れ力率 0.65 で 32 kW の負荷に電力を供給している。変圧器が kVA 定格に達するまでに、抵抗負荷（力率 1）としてあとどれだけの有効電力 ΔP を追加できるか。

S_max = 100 kVAP₁ = 32 kWpf₁ = 0.65

ΔP = kW

7.LC 共振、Q 値、帯域幅ふつう

RLC 直列回路で R = 10 Ω、L = 22 µH、C = 22 nF です。Q 値 Q を求めなさい。

R = 10 ΩL = 22 µHC = 22 nF

Q =

8.LC 共振、Q 値、帯域幅むずかしい

RLC 直列回路（R = 5 Ω、L = 22 mH、C = 47 nF）を共振で駆動し、電流の振幅は 20 mA です。1 周期の間に R で消費されるエネルギー E_cycle を nJ で求めなさい。

R = 5 ΩL = 22 mHC = 47 nFI_m = 20 mA

E_cycle = nJ

9.三相電力ふつう

平衡三相負荷が、線間電圧 480 V の電源から線電流 30 A を流している。力率は遅れ 0.95 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 480 VI_L = 30 Acos φ = 0.95

P = kW

10.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、400 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.78 で 80 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.92 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 Q_C を kvar で求めよ。

P = 80 kWpf₁ = 0.78pf₂ = 0.92V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 1 ms における電流 i を求めよ。

V_s = 5 VR = 33 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

12.RC・RL 過渡現象むずかしい

タイマーが t = 0 に、9 V の電源から抵抗を通して充電されていないコンデンサの充電を始める。コンデンサの電圧が 7.2 V に達したとき、開始からちょうど 500 ms 後に作動しなければならない。 C = 2.2 µF のとき、必要な抵抗 R を求めよ。

V_s = 9 VV_th = 7.2 VT = 500 msC = 2.2 µF

R = kΩ

13.テブナン・ノートンふつう

端子 a–b から見たテブナン電圧 V_th を求めよ。

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 20 Ω

V_th = V

14.テブナン・ノートンむずかしい

端子 a–b から見たテブナン電圧 V_th を求めよ。

V₁ = 15 VI_s = 3 AR₁ = 8 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 25 Ω

V_th = V

15.ボード線図と余裕ふつう

ω = 1 rad/s における G(s) = 20(s + 12)/(s(s + 9)) の位相 ∠G(jω) を度で求めよ。

G(s) = 20(s + 12)/(s(s + 9))ω = 1 rad/s

∠G(jω) = °

16.ボード線図と余裕むずかしい

ユニティフィードバック系の開ループ伝達関数は L(s) = 184/(s(s + 8)) である。位相余裕 PM を度で求めよ。

L(s) = 184/(s(s + 8))

PM = °

3溶液

1.複素数

答え: D (4 − j4)

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

w の効果

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − 90°

その点

z/w = 4 − j4 → D

答え

D (4 − j4)

2.複素数

答え: Re(z⁸) = 4096

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

極形式

z = −2 − j2 = 2√2∠−135°

ド・モアブル

z⁸ = (2√2)⁸∠−1080° = 4096∠0°

直交形式

z⁸ = 4096·(cos 0° + j sin 0°) = 4096

Re(z⁸) = 4096

答え

Re(z⁸) = 4096

3.交流インピーダンスとフェーザ

答え: φ = −43.3 °

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω

枝電流

両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。

I_R = V/R = 100/30 = 3.333 A

I_X = V/X_C = 100/31.83 = 3.142 A

全電流

抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。

I = √(I_R² + I_X²) = √(3.333² + 3.142²) = 4.58 A

位相角

コンデンサの電流は V より進むので、全電流も進み、角度は負です。

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(3.142/3.333) = −43.3°

答え

φ = −43.3°

4.交流インピーダンスとフェーザ

答え: f₀ = 277.1 Hz

共振

共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。電源周波数は関係ありません。

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.15·2.2·10⁻⁶)) = 277.1 Hz

答え

f₀ = 277.1 Hz

5.交流電力と力率

答え: S = 576 VA

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

電流

|Z| = √(20² + 15²) = 25 Ω

I = V/|Z| = 120/25 = 4.8 A

皮相電力

S = V·I = 120·4.8 = 576 VA

答え

S = 576 VA

6.交流電力と力率

答え: ΔP = 60.74 kW

既存の負荷の無効電力

Q₁ = 32·tan(arccos 0.65) = 37.41 kvar

最大の全有効電力

定格いっぱいでは S = S_max で、Q は抵抗負荷によって変わりません。

P = √(S_max² − Q₁²) = √(100² − 37.41²) = 92.74 kW

追加できる有効電力

ΔP = 92.74 − 32 = 60.74 kW

答え

ΔP = 60.74 kW

7.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: Q = 3.162

Q 値と帯域幅：共振回路では Q = 2π·（蓄えられたエネルギー）/（1 周期に失われるエネルギー）です。RLC 直列では Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)、RLC 並列では Q = R/(ω₀L) = R√(C/L) です。半電力周波数 f₁ と f₂（電力が半分になり、電流または電圧がピークの 1/√2 になる周波数）の間の帯域幅は BW = f₂ − f₁ = f₀/Q で、直列では R/(2πL)、並列では 1/(2πRC) です。共振周波数は幾何平均 f₀ = √(f₁f₂) で、f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) です。損失は振動の減衰ももたらします：RLC 直列では振幅は e^−Rt/(2L) に従って減ります。

特性インピーダンス

√(L/C) = √(2.2 × 10⁻⁵/2.2 × 10⁻⁸) = 31.62 Ω

Q 値

Q = 31.62/10 = 3.162

答え

Q = 3.162

共振周波数は 228.8 kHz なので、BW = f₀/Q = 72.34 kHz です。

8.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: E_cycle = 202 nJ

蓄積エネルギー

W = ½·0.022·0.02² = 4.4 × 10⁻⁶ J

Q 値

Q = (1/5)·√(0.022/4.7 × 10⁻⁸) = 136.8

1 周期に失われるエネルギー

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·4.4 × 10⁻⁶/136.8 = 2.02 × 10⁻⁷ J = 202 nJ

確認: ½·0.02²·5/4949 = 2.02 × 10⁻⁷ J

答え

E_cycle = 202 nJ

9.三相電力

答え: P = 23.69 kW

皮相電力

S = √3·V_L·I_L = √3·480·30 = 24.94 kVA

有効電力

P = S·cos φ = 24.94·0.95 = 23.69 kW

答え

P = 23.69 kW

10.三相電力

答え: Q_C = 30.1 kvar

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 80·tan(acos 0.78) = 80·0.8023 = 64.18 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0.92) = 80·0.426 = 34.08 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 30.1 kvar

答え

Q_C = 30.1 kvar

11.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.1177 A

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 22 mH / 33 Ω = 0.6667 ms

i(∞) = V_s/R = 5/33 = 0.1515 A

指定時刻の電流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.1515·(1 − e^−1/0.6667) = 0.1177 A

答え

i = 0.1177 A

12.RC・RL 過渡現象

答え: R = 141.2 kΩ

必要な時定数

7.2 = 9·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(9/(9 − 7.2))

τ = 500/1.609 = 310.7 ms

抵抗

kΩ × µF でミリ秒になります。

R = τ/C = 310.7/2.2 = 141.2 kΩ

答え

R = 141.2 kΩ

13.テブナン・ノートン

答え: V_th = 10.91 V

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 3·8/(3+8) = 2.182 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.182 + 20 = 22.18 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·8/(3+8) = 10.91 V

14.テブナン・ノートン

答え: V_th = 104.5 V

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 8·25/(8+25) = 6.061 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6.061 + 25 = 31.06 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 11.36 + 3·6.061 = 29.55 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 29.55 + 3·25 = 104.5 V

15.ボード線図と余裕

答え: ∠G(jω) = −91.58 °

周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ω_c = 1/(RC) または R/L、f_c = ω_c/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)、φ = −atan(ω/ω_c) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jω_c)。位相交差周波数 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。

角を足す

∠G = atan(1/12) − 90° − atan(1/9) = 4.764° − 90° − 6.34°

結果

∠G(j1) = −91.58°

答え

∠G(jω) = −91.58°

16.ボード線図と余裕

答え: PM = 32.74 °

ゲイン交差

ω⁴ + 64ω² − 33856 = 0

ω² = (−64 + √(4096 + 4·33856))/2 = 154.8

ω_c = 12.44 rad/s

位相余裕

∠L(jω_c) = −90° − atan(12.44/8) = −147.3°

PM = 180° + ∠L = 32.74°

答え

PM = 32.74°

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電気回路 II：交流回路：直前対策パック

1公式と解法

複素数

解き方

交流インピーダンスとフェーザ

解き方

交流電力と力率

LC 共振、Q 値、帯域幅

解き方

三相電力

RC・RL 過渡現象

解き方

テブナン・ノートン

解き方

2演習問題

3溶液

w の効果

その点

答え

極形式

ド・モアブル

直交形式

答え

リアクタンス

枝電流

全電流

位相角

答え

共振

答え

電流

皮相電力

答え

既存の負荷の無効電力

最大の全有効電力

追加できる有効電力

答え

特性インピーダンス

Q 値

答え

蓄積エネルギー

Q 値

1 周期に失われるエネルギー

答え

皮相電力

有効電力

答え

改善前後の無効電力

コンデンサが供給する無効電力

答え

時定数と最終電流

指定時刻の電流

答え

必要な時定数

抵抗

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

角を足す

結果

答え

ゲイン交差

位相余裕

答え

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める