電気回路 II：交流回路：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

複素数

直交形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
割り算
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

  1. 演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
  2. 展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
  3. 変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
  4. 冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

交流電力と力率

有効電力
P = V·I·cos φ
無効電力
Q = V·I·sin φ
皮相電力
S = V·I = √(P² + Q²)
力率
pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 共振、Q 値、帯域幅

固有振動数
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
エネルギー
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
ピーク電流
Imax = V0√(C/L)
Q 値
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC 直列
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC 並列
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
帯域幅
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半電力周波数
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
コイル抵抗 r をもつタンク回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅の減衰
e−Rt/(2L)

解き方

  1. まず共振周波数を求めます：ω₀ = 1/√(LC)、f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 回路が直列か並列かを判断します：直列は Q = (1/R)√(L/C)、並列は Q = R√(C/L)。
  3. 帯域幅は BW = f₀/Q で求めるか、近道の公式 R/(2πL)（直列）、1/(2πRC)（並列）を使います。
  4. エネルギーの問題では、理想的な LC 回路の全エネルギー ½CV₀² が一定で、4 分の 1 周期ごとに C と L の間を行き来することを使います。

三相電力

Y 結線
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 結線
VL = Vph, IL = √3·Iph
全有効電力
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
皮相電力と無効電力
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧
Δ：VL Y：VL/√3
モーターの入力
Pin = Pout/η

RC・RL 過渡現象

時定数
τ = RC | τ = L/R
応答
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流でのコンデンサ
開放；vC は急変しない
直流でのインダクタ
短絡；iL は急変しない
定常値
t ≈ 5τ

解き方

  1. 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
  2. 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
  3. 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。

テブナン・ノートン

テブナン電圧
Vth = Vopen circuit
テブナン抵抗
Rth：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流
IN = Vth/Rth
負荷電流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大電力伝送
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

解き方

  1. 負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
  2. a と b の間の開放電圧を求めます：これが Vth です。
  3. 独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが Rth です。
  4. 負荷を等価回路に戻します：Vth と Rth の直列です。
  5. ノートン等価回路には変換します：IN = Vth/Rth、RN = Rth を並列に接続します。

2演習問題

1.複素数ふつう
ReIm55−5−51010−10−10θz

z = −9 + j の偏角 θ を、−180° から 180° の間の主値として、度で求めてください。

z = −9 + j
θ = °
2.複素数むずかしい
ReIm11−1−122−2−2θz

ド・モアブルの定理を使って、z = −√3 + j のときの z³ の虚部を求めてください。

z = −√3 + jn = 3
Im(z³) =
3.交流インピーダンスとフェーザふつう
10 V60 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 4.7 µF

直列 RLC 回路を 10 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 4.7 µF
φ = °
4.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
1 Vf0​R = 50 ΩL = 50 mHC = 1 µF

直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 1 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 VL を求めよ。

V = 1 V (rms)R = 50 ΩL = 50 mHC = 1 µF
VL = V
5.交流電力と力率ふつう
230 VR + jXP = 2346 W17 A

誘導性負荷が 230 V（実効値）の単相電源から 17 A と 2346 W を消費する。これを抵抗 R とリアクタンス X の直列回路としてモデル化する。 R を求めよ。

V = 230 VI = 17 AP = 2346 W
R = Ω
6.交流電力と力率むずかしい
P = 20 kWQ1​S1​φ1​QC​

単相負荷が 230 V、60 Hz の電源から遅れ力率 0.75 で 20 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.92 に改善する。 コンデンサが供給すべき無効電力 QC を求めよ。

P = 20 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.92V = 230 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.LC 共振、Q 値、帯域幅ふつう
f|I|0.70715 kHzf1​ = ?f2​BW

RLC 直列回路が 5 kHz で共振し、Q = 4 です。下側の半電力周波数 f1 を厳密に kHz で求めなさい。

f0 = 5 kHzQ = 4
f1 = kHz
8.LC 共振、Q 値、帯域幅むずかしい
C = 10 nFR = 10 ΩL = 4.7 mH

充電した 10 nF のコンデンサが、全直列抵抗 10 Ω の 4.7 mH のコイルを通して放電するので、振動はゆっくり減衰します。振幅は e−Rt/(2L) に従って減衰します。振幅が半分になるまでに、振動は何周期 n 起こりますか。（損失は小さいので、周波数は f₀ とします。）

L = 4.7 mHC = 10 nFR = 10 Ω
n =
9.三相電力ふつう
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M90 kW, η = 88%cos φ = 0.82

三相誘導電動機が全負荷で 90 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 88%、力率は遅れ 0.82 である。電源の線間電圧は 400 V である。線電流 IL を求めよ。

Pout = 90 kWη = 88%cos φ = 0.82VL = 400 V
IL = A
10.三相電力むずかしい
P = 75 kWφ1​S1​Q2​QC​

平衡三相負荷が、400 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.75 で 75 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.9 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 Cph を µF で求めよ。

P = 75 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.9VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC・RL 過渡現象ふつう
+−Vs​9 Vt = 0R = 10 ΩL22 mHi(t)

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 5 ms でコイルに蓄えられているエネルギー W を mJ で求めよ。

Vs = 9 VR = 10 ΩL = 22 mHt = 5 ms
W = mJ
12.RC・RL 過渡現象むずかしい
+−Vs​24 Vt = 0R = 4.7 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 2 V に充電されている。 vC が 10.8 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。

Vs = 24 VR = 4.7 kΩC = 220 µFvC(0) = 2 V
t = ms
13.テブナン・ノートンふつう
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩAab

ノートン電流 IN を求めよ：端子を短絡したとき a から b へ流れる電流。

V1 = 24 VR1 = 12 ΩR2 = 2 ΩR3 = 15 Ω
IN = A
14.テブナン・ノートンむずかしい
R1​ = 8 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAIs​0.5 ABab

端子 a–b から見たテブナン電圧 Vth を求めよ。

V1 = 18 VIs = 0.5 AR1 = 8 ΩR2 = 15 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V
15.ボード線図と余裕ふつう
|H| (dB)0.10.1111010100100−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−135−90−450ω = 4

ω = 4 rad/s における G(s) = 28(s + 9)/(s(s + 7)) の位相 ∠G(jω) を度で求めよ。

G(s) = 28(s + 9)/(s(s + 7))ω = 4 rad/s
∠G(jω) = °
16.ボード線図と余裕むずかしい
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​ = ?

ユニティフィードバック系の開ループ伝達関数は L(s) = 244/(s(s + 4)(s + 7)) である。 ∠L(jω) = −180° となる位相交差周波数 ω180 を求めよ。

L(s) = 244/(s(s + 4)(s + 7))
ω180 = rad/s

3溶液

1.複素数

答え: θ = 173.7 °

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

象限

a = −9, b = 1 → II

基準角

α = atan(1/9) = 6.34°

偏角

θ = 180° − α = 173.7°

答え

θ = 173.7°

極形式では z = 9.055∠173.7° です。

2.複素数

答え: Im(z³) = 8

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

極形式

z = −√3 + j = 2∠150°

ド・モアブル

z³ = (2)³∠450° = 8∠90°

直交形式

z³ = 8·(cos 90° + j sin 90°) = j8
Im(z³) = 8

答え

Im(z³) = 8
3.交流インピーダンスとフェーザ

答え: φ = −86.74 °

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.1 = 37.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·4.7·10⁻⁶) = 564.4 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (−526.7)²) = 527.5 Ω

位相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−526.7/30) = −86.74°

答え

φ = −86.74°
4.交流インピーダンスとフェーザ

答え: VL = 4.472 V

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

共振

共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·1·10⁻⁶) = 4472 rad/s
I = V/R = 1/50 = 0.02 A

コイルの両端の電圧

XL = ω₀L = 4472·0.05 = 223.6 Ω
VL = I·XL = 0.02·223.6 = 4.472 V

答え

VL = 4.472 V

これは電源電圧の Q = 4.472 倍です。

5.交流電力と力率

答え: R = 8.118 Ω

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

有効電力からの抵抗

R = P/I² = 2346/17² = 8.118 Ω

答え

R = 8.118 Ω
6.交流電力と力率

答え: QC = 9.118 kvar

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q1 = P·tan φ1 = 20·tan(41.41°) = 17.64 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 20·tan(23.07°) = 8.52 kvar
QC = Q1 − Q2 = 9.118 kvar

答え

QC = 9.118 kvar
7.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: f1 = 4.414 kHz

Q 値と帯域幅：共振回路では Q = 2π·（蓄えられたエネルギー）/（1 周期に失われるエネルギー）です。RLC 直列では Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)、RLC 並列では Q = R/(ω0L) = R√(C/L) です。半電力周波数 f1 と f2（電力が半分になり、電流または電圧がピークの 1/√2 になる周波数）の間の帯域幅は BW = f2 − f1 = f0/Q で、直列では R/(2πL)、並列では 1/(2πRC) です。共振周波数は幾何平均 f0 = √(f1f2) で、f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) です。損失は振動の減衰ももたらします：RLC 直列では振幅は e−Rt/(2L) に従って減ります。

平方根の項

√(1 + 1/(4·4²)) = 1.008

下側の半電力周波数

f1 = 5000·(1.008 − 0.125) = 4414 Hz = 4.414 kHz

答え

f1 = 4.414 kHz

上側は f₂ = 5.664 kHz です。確認：f₂ − f₁ = 1.25 kHz = f₀/Q。

8.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: n = 15.13

Q 値と帯域幅：共振回路では Q = 2π·（蓄えられたエネルギー）/（1 周期に失われるエネルギー）です。RLC 直列では Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)、RLC 並列では Q = R/(ω0L) = R√(C/L) です。半電力周波数 f1 と f2（電力が半分になり、電流または電圧がピークの 1/√2 になる周波数）の間の帯域幅は BW = f2 − f1 = f0/Q で、直列では R/(2πL)、並列では 1/(2πRC) です。共振周波数は幾何平均 f0 = √(f1f2) で、f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) です。損失は振動の減衰ももたらします：RLC 直列では振幅は e−Rt/(2L) に従って減ります。

振幅の半減期

t = 2·0.0047·ln 2/10 = 0.0006516 s

周期数

n = t·f0 = 0.0006516·23215 = 15.13

答え

n = 15.13

近道：Q = 68.56 を使って n = Q·ln 2/π。

9.三相電力

答え: IL = 180 A

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

電気入力

Pin = Pout/η = 90/0.88 = 102.3 kW

線電流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 102273/(√3·400·0.82) = 180 A

答え

IL = 180 A
10.三相電力

答え: Cph = 164.8 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q1 = 75·tan(acos 0.75) = 75·0.8819 = 66.14 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0.9) = 75·0.4843 = 36.32 kvar

コンデンサが供給する無効電力

QC = Q1 − Q2 = 29.82 kvar

1 相あたりの静電容量

Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 9940/(377·400²) = 164.8 µF

答え

Cph = 164.8 µF
11.RC・RL 過渡現象

答え: W = 7.169 mJ

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 22 mH / 10 Ω = 2.2 ms
i(∞) = Vs/R = 9/10 = 0.9 A

指定時刻の電流

i(t) = 0.9·(1 − e−5/2.2) = 0.8073 A

蓄積エネルギー

W = ½·L·i² = ½·22·0.8073² = 7.169 mJ

答え

W = 7.169 mJ
12.RC・RL 過渡現象

答え: t = 528.2 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 220 µF = 1034 ms
vC(t) = 24 + (2 − 24)·e−t/τ

時間について解く

10.8 = 24 + (−22)·e−t/τ → e−t/τ = (10.8 − 24)/(2 − 24) = 0.6
t = τ·ln((2 − 24)/(10.8 − 24)) = 1034·ln(1.667) = 528.2 ms

答え

t = 528.2 ms
13.テブナン・ノートン

答え: IN = 0.2051 A

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。

R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω短絡R2​2 ΩAabRth​

すべての電源を止めて Rth を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R1 ∥ R2 = 12·2/(12+2) = 1.714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.714 + 15 = 16.71 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩAab+−Vth​

開放電圧 Vth を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·2/(12+2) = 3.429 V
IN​0.2051 ARth​16.71 Ωab

ノートン等価回路

ノートン電源は、同じ回路を R_th と並列な電流源として見たものです。その電流は a–b の短絡電流です。

IN = Vth/Rth = 3.429/16.71 = 0.2051 A
14.テブナン・ノートン

答え: Vth = 24.35 V

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。

R1​ = 8 ΩR3​ = 20 Ω短絡R2​15 ΩA開放BabRth​

すべての電源を止めて Rth を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R1 ∥ R2 = 8·15/(8+15) = 5.217 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5.217 + 20 = 25.22 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAIs​0.5 ABab+−Vth​

開放電圧 Vth を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 11.74 + 0.5·5.217 = 14.35 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 14.35 + 0.5·20 = 24.35 V
15.ボード線図と余裕

答え: ∠G(jω) = −95.78 °

周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ωc = 1/(RC) または R/L、fc = ωc/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)、φ = −atan(ω/ωc) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jωc)。位相交差周波数 ω180：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。

角を足す

∠G = atan(4/9) − 90° − atan(4/7) = 23.96° − 90° − 29.74°

結果

∠G(j4) = −95.78°

答え

∠G(jω) = −95.78°
16.ボード線図と余裕

答え: ω180 = 5.292 rad/s

周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ωc = 1/(RC) または R/L、fc = ωc/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)、φ = −atan(ω/ωc) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jωc)。位相交差周波数 ω180：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。

位相交差

(ω/4)·(ω/7) = 1 → ω180 = √(4·7) = 5.292 rad/s

答え

ω180 = 5.292 rad/s

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