電気回路 II：交流回路：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC 共振、Q 値、帯域幅

固有振動数: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
エネルギー: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
ピーク電流: I_max = V₀√(C/L)
Q 値: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC 直列: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC 並列: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
帯域幅: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
半電力周波数: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
コイル抵抗 r をもつタンク回路: R_D = L/(C·r) = Q²·r
振幅の減衰: e^−Rt/(2L)

解き方

まず共振周波数を求めます：ω₀ = 1/√(LC)、f₀ = ω₀/(2π)。
回路が直列か並列かを判断します：直列は Q = (1/R)√(L/C)、並列は Q = R√(C/L)。
帯域幅は BW = f₀/Q で求めるか、近道の公式 R/(2πL)（直列）、1/(2πRC)（並列）を使います。
エネルギーの問題では、理想的な LC 回路の全エネルギー ½CV₀² が一定で、4 分の 1 周期ごとに C と L の間を行き来することを使います。

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

2演習問題

1.複素数ふつう

z = 5 − j6 を指数形式 r·e^jθ で表してください。θ をラジアンで、−π から π の間で答えてください。

z = 5 − j6

θ = rad

2.複素数むずかしい

(−1 − j3)³ の実部を求めてください。

z = −1 − j3n = 3

Re(z³) =

3.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 100 V（実効値）、60 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 47 µF

I = A

4.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 10 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。コンデンサの両端電圧の実効値 V_C を求めよ。

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 10 µF

V_C = V

5.交流電力と力率ふつう

単相モーターが 240 V の電源から、遅れ力率 0.9 で 21 kW を消費する。モーターの無効電力 Q を求めよ。

P = 21 kWpf = 0.9V = 240 V

Q = kvar

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 230 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.75 で 35 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.9 に改善する。コンデンサが供給すべき無効電力 Q_C を求めよ。

P = 35 kWpf₁ = 0.75pf₂ = 0.9V = 230 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.LC 共振、Q 値、帯域幅ふつう

理想的な LC 回路で L = 10 mH、C = 10 nF とし、t = 0 でコンデンサが満充電されています。エネルギーがすべてインダクタに移るまでにどれだけかかりますか。t を µs で答えなさい。

L = 10 mHC = 10 nF

t = µs

8.LC 共振、Q 値、帯域幅むずかしい

RLC 直列の共振回路に 22 mH のインダクタを使います。帯域幅を 500 Hz にするには、直列の全抵抗 R をいくらにすればよいですか。

L = 22 mHBW = 500 Hz

R = Ω

9.三相電力ふつう

三相誘導電動機が全負荷で 90 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 88%、力率は遅れ 0.86 である。電源の線間電圧は 400 V である。線電流 I_L を求めよ。

P_out = 90 kWη = 88%cos φ = 0.86V_L = 400 V

I_L = A

10.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、415 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.78 で 200 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Δ 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 200 kWpf₁ = 0.78pf₂ = 0.95V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC・RL 過渡現象ふつう

コイルには 1.5 A の定常電流が流れている。t = 0 にスイッチが R を通るループを閉じ、電源が切り離されるので、コイルの電流は R を通して減衰する。 t = 2 ms での R の両端電圧 v_R を求めよ。

i(0) = 1.5 AR = 22 ΩL = 33 mHt = 2 ms

v_R = V

12.RC・RL 過渡現象むずかしい

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 12 V に充電されている。 v_C が 9.9 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。

V_s = 9 VR = 10 kΩC = 22 µFv_C(0) = 12 V

t = ms

13.テブナン・ノートンふつう

端子 a–b から見たテブナン抵抗 R_th を求めよ。

V₁ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 Ω

R_th = Ω

14.テブナン・ノートンむずかしい

a–b 間に負荷 R_L = 12 Ω を接続する。テブナン等価回路を使って、負荷で消費される電力 P_L を求めよ。

V₁ = 9 VI_s = 2 AR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 12 Ω

P_L = W

15.ボード線図と余裕ふつう

ω = 30 rad/s における G(s) = 49(s + 7)/(s(s + 3)) の位相 ∠G(jω) を度で求めよ。

G(s) = 49(s + 7)/(s(s + 3))ω = 30 rad/s

∠G(jω) = °

16.ボード線図と余裕むずかしい

ユニティフィードバック系の開ループ伝達関数は L(s) = K/(s(s + 2)(s + 3)) である。ゲイン余裕が 2 dB となるゲイン K を求めよ。

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 3))GM = 2 dB

K =

3溶液

1.複素数

答え: θ = −0.8761 rad

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

絶対値

r = √(25 + 36) = 7.81

ラジアンでの偏角

θ = −50.19° = −50.19·π/180 = −0.8761 rad

指数形式

z = 7.81·e^−j0.8761

答え

θ = −0.8761 rad

2.複素数

答え: Re(z³) = 26

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

冪を 1 段階ずつ求める

z² = (−1 − j3)(−1 − j3) = −8 + j6

z³ = (−8 + j6)(−1 − j3) = 26 + j18

ド・モアブルの定理で確かめる

z = 3.162∠−108.4° → z³ = 31.62∠34.7°

Re(z³) = 26

答え

Re(z³) = 26

3.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 1.067 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0.02 = 7.54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−48.9)²) = 93.76 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 100/93.76 = 1.067 A

答え

I = 1.067 A

4.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_C = 10.56 V

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.05 = 31.42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·10·10⁻⁶) = 159.2 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−127.7)²) = 150.7 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 10/150.7 = 0.06635 A

コンデンサの電圧

V_C = I·X_C = 0.06635·159.2 = 10.56 V

答え

V_C = 10.56 V

5.交流電力と力率

答え: Q = 10.17 kvar

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

位相角

φ = arccos(0.9) = 25.84°, tan φ = 0.4843

無効電力

Q = P·tan φ = 21·0.4843 = 10.17 kvar

答え

Q = 10.17 kvar

6.交流電力と力率

答え: Q_C = 13.92 kvar

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = P·tan φ₁ = 35·tan(41.41°) = 30.87 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 35·tan(25.84°) = 16.95 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 13.92 kvar

答え

Q_C = 13.92 kvar

7.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: t = 15.71 µs

LC 共振：充電したコンデンサをインダクタにつなぐと、電流が流れて逆向きに充電されます：エネルギーは、固有周波数 f₀ = 1/(2π√(LC)) で C の電界（½Cv²）と L の磁界（½Li²）の間を行き来します。抵抗がなければ全エネルギー ½CV₀² は一定なので、ピーク電流は I_max = V₀√(C/L) です。1 周期は T = 1/f₀ で、エネルギーはその 4 分の 1 の時間で C から L に移ります。

周期

T = 2π√(0.01·1 × 10⁻⁸) = 62.83 µs

4 分の 1 周期

t = T/4 = 15.71 µs

答え

t = 15.71 µs

8.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: R = 69.12 Ω

Q 値と帯域幅：共振回路では Q = 2π·（蓄えられたエネルギー）/（1 周期に失われるエネルギー）です。RLC 直列では Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)、RLC 並列では Q = R/(ω₀L) = R√(C/L) です。半電力周波数 f₁ と f₂（電力が半分になり、電流または電圧がピークの 1/√2 になる周波数）の間の帯域幅は BW = f₂ − f₁ = f₀/Q で、直列では R/(2πL)、並列では 1/(2πRC) です。共振周波数は幾何平均 f₀ = √(f₁f₂) で、f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) です。損失は振動の減衰ももたらします：RLC 直列では振幅は e^−Rt/(2L) に従って減ります。

直列の帯域幅

BW = R/(2πL)

抵抗

R = 2π·0.022·500 = 69.12 Ω

答え

R = 69.12 Ω

9.三相電力

答え: I_L = 171.6 A

電気入力

P_in = P_out/η = 90/0.88 = 102.3 kW

線電流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 102273/(√3·400·0.86) = 171.6 A

答え

I_L = 171.6 A

10.三相電力

答え: C_ph = 486.3 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 200·tan(acos 0.78) = 200·0.8023 = 160.5 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0.95) = 200·0.3287 = 65.74 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 94.72 kvar

1 相あたりの静電容量

Δ バンクでは、各コンデンサは 2 本の線の間に接続されています。

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 31573/(377·415²) = 486.3 µF

答え

C_ph = 486.3 µF

11.RC・RL 過渡現象

答え: v_R = 8.699 V

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数

τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1.5 ms

電流の減衰

i(t) = 1.5·e^−2/1.5 = 0.3954 A

v_R = R·i = 22·0.3954 = 8.699 V

答え

v_R = 8.699 V

12.RC・RL 過渡現象

答え: t = 264.9 ms

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 10 kΩ · 22 µF = 220 ms

v_C(t) = 9 + (12 − 9)·e^−t/τ

時間について解く

9.9 = 9 + (3)·e^−t/τ → e^−t/τ = (9.9 − 9)/(12 − 9) = 0.3

t = τ·ln((12 − 9)/(9.9 − 9)) = 220·ln(3.333) = 264.9 ms

答え

t = 264.9 ms

13.テブナン・ノートン

答え: R_th = 15.53 Ω

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 12·5/(12+5) = 3.529 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.529 + 12 = 15.53 Ω

14.テブナン・ノートン

答え: P_L = 21.28 W

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 6·15/(6+15) = 4.286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.286 + 10 = 14.29 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6.429 + 2·4.286 = 15 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 15 + 2·10 = 35 V

負荷をテブナン等価回路につなぐ

テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 35/(14.29 + 12) = 1.332 A

P_L = I_L²·R_L = 1.332²·12 = 21.28 W

15.ボード線図と余裕

答え: ∠G(jω) = −97.42 °

周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ω_c = 1/(RC) または R/L、f_c = ω_c/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)、φ = −atan(ω/ω_c) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jω_c)。位相交差周波数 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。

角を足す

∠G = atan(30/7) − 90° − atan(30/3) = 76.87° − 90° − 84.29°

結果

∠G(j30) = −97.42°

答え

∠G(jω) = −97.42°

16.ボード線図と余裕

答え: K = 23.83

位相交差

(ω/2)·(ω/3) = 1 → ω₁₈₀ = √(2·3) = 2.449 rad/s

位相交差での大きさ

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 9)) = K/(2·3·(2 + 3)) = K/30

必要なゲイン

30/K = 10^2/20 = 1.259

K = 30/1.259 = 23.83

答え

K = 23.83

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

電気回路 II：交流回路：直前対策パック

1公式と解法

複素数

解き方

交流インピーダンスとフェーザ

解き方

交流電力と力率

LC 共振、Q 値、帯域幅

解き方

三相電力

RC・RL 過渡現象

解き方

テブナン・ノートン

解き方

2演習問題

3溶液

絶対値

ラジアンでの偏角

指数形式

答え

冪を 1 段階ずつ求める

ド・モアブルの定理で確かめる

答え

リアクタンス

インピーダンス

電流

答え

リアクタンス

インピーダンス

電流

コンデンサの電圧

答え

位相角

無効電力

答え

改善前後の無効電力

答え

周期

4 分の 1 周期

答え

直列の帯域幅

抵抗

答え

電気入力

線電流

答え

改善前後の無効電力

コンデンサが供給する無効電力

1 相あたりの静電容量

答え

時定数

電流の減衰

答え

初期値、最終値、時定数

時間について解く

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

負荷をテブナン等価回路につなぐ

角を足す

結果

答え

位相交差

位相交差での大きさ

必要なゲイン

答え

すべての電源を止めて R_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める