電気回路 II：交流回路：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC 共振、Q 値、帯域幅

固有振動数: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
エネルギー: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
ピーク電流: I_max = V₀√(C/L)
Q 値: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC 直列: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC 並列: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
帯域幅: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
半電力周波数: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
コイル抵抗 r をもつタンク回路: R_D = L/(C·r) = Q²·r
振幅の減衰: e^−Rt/(2L)

解き方

まず共振周波数を求めます：ω₀ = 1/√(LC)、f₀ = ω₀/(2π)。
回路が直列か並列かを判断します：直列は Q = (1/R)√(L/C)、並列は Q = R√(C/L)。
帯域幅は BW = f₀/Q で求めるか、近道の公式 R/(2πL)（直列）、1/(2πRC)（並列）を使います。
エネルギーの問題では、理想的な LC 回路の全エネルギー ½CV₀² が一定で、4 分の 1 周期ごとに C と L の間を行き来することを使います。

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

2演習問題

1.複素数ふつう

z = 10∠35° を直交形式 a + jb で表し、虚部 b を答えてください。

r = 10θ = 35°

b =

2.複素数むずかしい

方程式 z² − 8z + 18.25 = 0 には 2 つの複素数の解があります。その絶対値 |z| を求めてください。

p = −8q = 18.25

|z| =

3.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。電源から供給される有効電力 P を求めよ。

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 47 µF

P = W

4.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 120 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。コンデンサの両端電圧の実効値 V_C を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 100 µF

V_C = V

5.交流電力と力率ふつう

単相モーターが 230 V の電源から、遅れ力率 0.9 で 4 kW を消費する。モーターの無効電力 Q を求めよ。

P = 4 kWpf = 0.9V = 230 V

Q = kvar

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 240 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.75 で 25 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.92 に改善する。新しい線電流 I_new を求めよ。

P = 25 kWpf₁ = 0.75pf₂ = 0.92V = 240 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.LC 共振、Q 値、帯域幅ふつう

理想的な LC 回路で L = 10 µH、C = 220 nF とし、t = 0 でコンデンサが満充電されています。エネルギーがすべてインダクタに移るまでにどれだけかかりますか。t を µs で答えなさい。

L = 10 µHC = 220 nF

t = µs

8.LC 共振、Q 値、帯域幅むずかしい

並列のタンク回路が、1 nF のコンデンサと、巻線抵抗 5 Ω の 470 µH のコイルでできています。共振では抵抗のようにふるまい、その動的抵抗は R_D = L/(C·r) です。R_D を kΩ で求めなさい。

L = 470 µHC = 1 nFr = 5 Ω

R_D = kΩ

9.三相電力ふつう

三相誘導電動機が全負荷で 45 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 90%、力率は遅れ 0.9 である。電源の線間電圧は 480 V である。線電流 I_L を求めよ。

P_out = 45 kWη = 90%cos φ = 0.9V_L = 480 V

I_L = A

10.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、400 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.65 で 100 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 100 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.95V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC・RL 過渡現象ふつう

コイルには 1 A の定常電流が流れている。t = 0 にスイッチが R を通るループを閉じ、電源が切り離されるので、コイルの電流は R を通して減衰する。 t = 1 ms での R の両端電圧 v_R を求めよ。

i(0) = 1 AR = 50 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_R = V

12.RC・RL 過渡現象むずかしい

スイッチは長い間閉じていたので、回路は定常状態にある。t = 0 にスイッチが開く。 t = 750 ms におけるコンデンサの電圧 v_C を求めよ。

V_s = 6 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 10 kΩC = 220 µFt = 750 ms

v_C = V

13.テブナン・ノートンふつう

端子 a–b から見たテブナン電圧 V_th を求めよ。

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 Ω

V_th = V

14.テブナン・ノートンむずかしい

ノートン電流 I_N を求めよ：端子を短絡したとき a から b へ流れる電流。

V₁ = 12 VI_s = 1 AR₁ = 5 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 5 Ω

I_N = A

15.ボード線図と余裕ふつう

図の RL ローパスフィルタは R = 22 Ω, L = 2.2 mH です。800 Hz の正弦波入力が加えられます。ゲイン |H| = |v_out/v_in| を dB で求めよ。

R = 22 ΩL = 2.2 mHf = 800 Hz

|H| = dB

16.ボード線図と余裕むずかしい

ユニティフィードバック系の開ループ伝達関数は L(s) = 372/(s(s + 4)(s + 9)) である。 ∠L(jω) = −180° となる位相交差周波数 ω₁₈₀ を求めよ。

L(s) = 372/(s(s + 4)(s + 9))

ω₁₈₀ = rad/s

3溶液

1.複素数

答え: b = 5.736

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

成分

a = 10·cos(35°) = 8.192

b = 10·sin(35°) = 5.736

直交形式

z = 8.192 + j5.736

b = 5.736

答え

b = 5.736

2.複素数

答え: |z| = 4.272

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

判別式

p² − 4q = 64 − 73 = −9 < 0

2 次方程式の解の公式

z = (8 ± j√9)/2 = 4 + j1.5, 4 − j1.5

答え

|z| = √(4² + 1.5²) = √18.25 = 4.272

答え

|z| = 4.272

3.交流インピーダンスとフェーザ

答え: P = 68.18 W

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_L = 188.5 Ω, X_C = 16.93 Ω

インピーダンス

|Z| = √(40² + (171.6)²) = 176.2 Ω

有効電力

コイルとコンデンサはエネルギーを蓄えて返すだけです。有効電力はすべて抵抗が消費します。

I = 230/176.2 = 1.306 A

P = I²·R = 1.306²·40 = 68.18 W

答え

P = 68.18 W

4.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_C = 30.82 V

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.05 = 31.42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (15.5)²) = 61.97 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 120/61.97 = 1.936 A

コンデンサの電圧

V_C = I·X_C = 1.936·15.92 = 30.82 V

答え

V_C = 30.82 V

5.交流電力と力率

答え: Q = 1.937 kvar

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

位相角

φ = arccos(0.9) = 25.84°, tan φ = 0.4843

無効電力

Q = P·tan φ = 4·0.4843 = 1.937 kvar

答え

Q = 1.937 kvar

6.交流電力と力率

答え: I_new = 113.2 A

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = P·tan φ₁ = 25·tan(41.41°) = 22.05 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 25·tan(23.07°) = 10.65 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 11.4 kvar

新しい線電流

I_new = P/(V·cos φ₂) = 25000/(240·0.92) = 113.2 A

答え

I_new = 113.2 A

7.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: t = 2.33 µs

LC 共振：充電したコンデンサをインダクタにつなぐと、電流が流れて逆向きに充電されます：エネルギーは、固有周波数 f₀ = 1/(2π√(LC)) で C の電界（½Cv²）と L の磁界（½Li²）の間を行き来します。抵抗がなければ全エネルギー ½CV₀² は一定なので、ピーク電流は I_max = V₀√(C/L) です。1 周期は T = 1/f₀ で、エネルギーはその 4 分の 1 の時間で C から L に移ります。

周期

T = 2π√(1 × 10⁻⁵·2.2 × 10⁻⁷) = 9.319 µs

4 分の 1 周期

t = T/4 = 2.33 µs

答え

t = 2.33 µs

8.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: R_D = 94 kΩ

Q 値と帯域幅：共振回路では Q = 2π·（蓄えられたエネルギー）/（1 周期に失われるエネルギー）です。RLC 直列では Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)、RLC 並列では Q = R/(ω₀L) = R√(C/L) です。半電力周波数 f₁ と f₂（電力が半分になり、電流または電圧がピークの 1/√2 になる周波数）の間の帯域幅は BW = f₂ − f₁ = f₀/Q で、直列では R/(2πL)、並列では 1/(2πRC) です。共振周波数は幾何平均 f₀ = √(f₁f₂) で、f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) です。損失は振動の減衰ももたらします：RLC 直列では振幅は e^−Rt/(2L) に従って減ります。

動的抵抗

R_D = 0.00047/(1 × 10⁻⁹·5) = 94000 Ω = 94 kΩ

Q で確認する

Q = (1/r)·√(L/C) = 137.1, Q²·r = 94000 Ω

答え

R_D = 94 kΩ

9.三相電力

答え: I_L = 66.82 A

電気入力

P_in = P_out/η = 45/0.9 = 50 kW

線電流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 50000/(√3·480·0.9) = 66.82 A

答え

I_L = 66.82 A

10.三相電力

答え: C_ph = 1393 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 100·tan(acos 0.65) = 100·1.169 = 116.9 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0.95) = 100·0.3287 = 32.87 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 84.04 kvar

1 相あたりの静電容量

Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 28015/(377·230.9²) = 1393 µF

答え

C_ph = 1393 µF

11.RC・RL 過渡現象

答え: v_R = 0.3369 V

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0.2 ms

電流の減衰

i(t) = 1·e^−1/0.2 = 0.006738 A

v_R = R·i = 50·0.006738 = 0.3369 V

答え

v_R = 0.3369 V

12.RC・RL 過渡現象

答え: v_C = 2.903 V

コンデンサの初期電圧

定常状態ではコンデンサは開放なので、R₁ と R₂ は分圧回路になります。スイッチが開いてもコンデンサの電圧は急変できません。

v_C(0) = 6·10/(4.7 + 10) = 4.082 V

スイッチが開いた後の時定数

τ = R₂·C = 10·220 = 2200 ms

放電

v_C(t) = 4.082·e^−750/2200 = 2.903 V

答え

v_C = 2.903 V

13.テブナン・ノートン

答え: V_th = 4 V

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 6·4/(6+4) = 2.4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.4 + 20 = 22.4 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·4/(6+4) = 4 V

14.テブナン・ノートン

答え: I_N = 2.091 A

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 5·25/(5+25) = 4.167 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.167 + 5 = 9.167 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 10 + 1·4.167 = 14.17 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 14.17 + 1·5 = 19.17 V

ノートン等価回路

ノートン電源は、同じ回路を R_th と並列な電流源として見たものです。その電流は a–b の短絡電流です。

I_N = V_th/R_th = 19.17/9.167 = 2.091 A

15.ボード線図と余裕

答え: |H| = −0.9783 dB

周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ω_c = 1/(RC) または R/L、f_c = ω_c/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)、φ = −atan(ω/ω_c) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jω_c)。位相交差周波数 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。

カットオフ周波数

ω_c = R/L = 22/0.0022 = 10000 rad/s

f_c = 1592 Hz → f/f_c = 800/1592 = 0.5027

利得

|H| = 1/√(1 + 0.5027²) = 0.8935

20·log₁₀(0.8935) = −0.9783 dB

答え

|H| = −0.9783 dB

16.ボード線図と余裕

答え: ω₁₈₀ = 6 rad/s

位相交差

(ω/4)·(ω/9) = 1 → ω₁₈₀ = √(4·9) = 6 rad/s

答え

ω₁₈₀ = 6 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

電気回路 II：交流回路：直前対策パック

1公式と解法

複素数

解き方

交流インピーダンスとフェーザ

解き方

交流電力と力率

LC 共振、Q 値、帯域幅

解き方

三相電力

RC・RL 過渡現象

解き方

テブナン・ノートン

解き方

2演習問題

3溶液

成分

直交形式

答え

判別式

2 次方程式の解の公式

答え

答え

リアクタンス

インピーダンス

有効電力

答え

リアクタンス

インピーダンス

電流

コンデンサの電圧

答え

位相角

無効電力

答え

改善前後の無効電力

新しい線電流

答え

周期

4 分の 1 周期

答え

動的抵抗

Q で確認する

答え

電気入力

線電流

答え

改善前後の無効電力

コンデンサが供給する無効電力

1 相あたりの静電容量

答え

時定数

電流の減衰

答え

コンデンサの初期電圧

スイッチが開いた後の時定数

放電

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

ノートン等価回路

カットオフ周波数

利得

答え

位相交差

答え

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める