電気回路 II：交流回路：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC 共振、Q 値、帯域幅

固有振動数: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
エネルギー: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
ピーク電流: I_max = V₀√(C/L)
Q 値: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC 直列: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC 並列: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
帯域幅: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
半電力周波数: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
コイル抵抗 r をもつタンク回路: R_D = L/(C·r) = Q²·r
振幅の減衰: e^−Rt/(2L)

解き方

まず共振周波数を求めます：ω₀ = 1/√(LC)、f₀ = ω₀/(2π)。
回路が直列か並列かを判断します：直列は Q = (1/R)√(L/C)、並列は Q = R√(C/L)。
帯域幅は BW = f₀/Q で求めるか、近道の公式 R/(2πL)（直列）、1/(2πRC)（並列）を使います。
エネルギーの問題では、理想的な LC 回路の全エネルギー ½CV₀² が一定で、4 分の 1 周期ごとに C と L の間を行き来することを使います。

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

2演習問題

1.複素数ふつう

z = 12∠25° を直交形式 a + jb で表し、実部 a を答えてください。

r = 12θ = 25°

a =

2.複素数むずかしい

z³ + 4z² − 128 = 0 の解の 1 つは z₁ = −4 + j4 です。係数は実数です。実数の解 r を求めてください。

z₁ = −4 + j4

r =

3.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 10 V（実効値）、1000 Hz の電源に接続する。インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。

V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 22 µF

φ = °

4.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。コンデンサの両端電圧の実効値 V_C を求めよ。

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 22 µF

V_C = V

5.交流電力と力率ふつう

誘導性負荷が 240 V（実効値）の単相電源から 9 A と 1080 W を消費する。これを抵抗 R とリアクタンス X の直列回路としてモデル化する。 R を求めよ。

V = 240 VI = 9 AP = 1080 W

R = Ω

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 230 V、60 Hz の電源から、遅れ力率 0.8 で 4 kW を消費する。22 µF のコンデンサを負荷と並列に接続する。電源から見た新しい力率 cos φ を求めよ。

P = 4 kWpf₁ = 0.8V = 230 Vf = 60 HzC = 22 µF

cos φ =

7.LC 共振、Q 値、帯域幅ふつう

RLC 直列回路で R = 5 Ω、L = 1 mH、C = 2.2 nF です。帯域幅 BW を Hz で求めなさい。

R = 5 ΩL = 1 mHC = 2.2 nF

BW = Hz

8.LC 共振、Q 値、帯域幅むずかしい

全抵抗 50 Ω、共振周波数 50 kHz、帯域幅 1 kHz の RLC 直列フィルタを設計します。静電容量 C を nF で求めなさい。

R = 50 Ωf₀ = 50 kHzBW = 1 kHz

C = nF

9.三相電力ふつう

平衡三相負荷が、線間電圧 690 V の電源から線電流 15 A を流している。力率は遅れ 0.75 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 690 VI_L = 15 Acos φ = 0.75

P = kW

10.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、690 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.7 で 50 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.9 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 50 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.9V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 50 ms でコイルに蓄えられているエネルギー W を mJ で求めよ。

V_s = 15 VR = 5 ΩL = 150 mHt = 50 ms

W = mJ

12.RC・RL 過渡現象むずかしい

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 12 V に充電されている。 t = 300 ms におけるコンデンサの電圧 v_C を求めよ。

V_s = 5 VR = 10 kΩC = 100 µFv_C(0) = 12 Vt = 300 ms

v_C = V

13.テブナン・ノートンふつう

端子 a–b から見たテブナン抵抗 R_th を求めよ。

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 Ω

R_th = Ω

14.テブナン・ノートンむずかしい

a–b 間に負荷 R_L = 15 Ω を接続する。回路の残りをテブナン等価回路に置き換え、負荷電流 I_L を求めよ。

V₁ = 18 VI_s = 2.5 AR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 30 ΩR_L = 15 Ω

I_L = A

15.ボード線図と余裕ふつう

ω = 10 rad/s における G(s) = 456/((s + 4)(s + 6)) の正確な大きさ |G(jω)| を dB で求めよ。

G(s) = 456/((s + 4)(s + 6))ω = 10 rad/s

|G(jω)| = dB

16.ボード線図と余裕むずかしい

ユニティフィードバック系の開ループ伝達関数は L(s) = 98/(s(s + 3)(s + 10)) である。 ∠L(jω) = −180° となる位相交差周波数 ω₁₈₀ を求めよ。

L(s) = 98/(s(s + 3)(s + 10))

ω₁₈₀ = rad/s

3溶液

1.複素数

答え: a = 10.88

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

成分

a = 12·cos(25°) = 10.88

b = 12·sin(25°) = 5.071

直交形式

z = 10.88 + j5.071

a = 10.88

答え

a = 10.88

2.複素数

答え: r = 4

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

共役な対

z₂ = −4 − j4

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−4)·z + ((−4)² + 4²) = z² + 8z + 32

2 次式でくくり出す

z³ + 4z² − 128 = (z² + 8z + 32)(z − 4)

実数の解

r = 4

答え

r = 4

解の和で確かめましょう：z₁ + z₂ + r = −8 + 4 = −4 = −(4)。

3.交流インピーダンスとフェーザ

答え: φ = 55.96 °

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.02 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·22·10⁻⁶) = 7.234 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (118.4)²) = 142.9 Ω

位相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(118.4/80) = 55.96°

答え

φ = 55.96°

4.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_C = 0.3795 V

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.15 = 471.2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14.47 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (456.8)²) = 457.5 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 12/457.5 = 0.02623 A

コンデンサの電圧

V_C = I·X_C = 0.02623·14.47 = 0.3795 V

答え

V_C = 0.3795 V

5.交流電力と力率

答え: R = 13.33 Ω

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

有効電力からの抵抗

R = P/I² = 1080/9² = 13.33 Ω

答え

R = 13.33 Ω

6.交流電力と力率

答え: cos φ = 0.8422

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = 4·tan(arccos 0.8) = 3 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·60·22·10⁻⁶ = 438.7 var = 0.4387 kvar

Q₂ = 3 − 0.4387 = 2.561 kvar

新しい皮相電力

S₂ = √(4² + 2.561²) = 4.75 kVA

新しい力率

cos φ = P/S₂ = 4/4.75 = 0.8422

答え

cos φ = 0.8422

7.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: BW = 795.8 Hz

Q 値と帯域幅：共振回路では Q = 2π·（蓄えられたエネルギー）/（1 周期に失われるエネルギー）です。RLC 直列では Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)、RLC 並列では Q = R/(ω₀L) = R√(C/L) です。半電力周波数 f₁ と f₂（電力が半分になり、電流または電圧がピークの 1/√2 になる周波数）の間の帯域幅は BW = f₂ − f₁ = f₀/Q で、直列では R/(2πL)、並列では 1/(2πRC) です。共振周波数は幾何平均 f₀ = √(f₁f₂) で、f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) です。損失は振動の減衰ももたらします：RLC 直列では振幅は e^−Rt/(2L) に従って減ります。

rad/s での帯域幅

R/L = 5/0.001 = 5000 rad/s

Hz での帯域幅

BW = 5000/(2π) = 795.8 Hz = 795.8 Hz

答え

BW = 795.8 Hz

f₀ = 107.3 kHz なので、Q = 134.8 となります。

8.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: C = 1.273 nF

帯域幅から求めるインダクタンス

L = R/(2π·BW) = 50/(2π·1000) = 0.007958 H

共振周波数から求める静電容量

C = 1/((2π·50000)²·0.007958) = 1.273 × 10⁻⁹ F = 1.273 nF

答え

C = 1.273 nF

Q = f₀/BW = 50。

9.三相電力

答え: P = 13.45 kW

皮相電力

S = √3·V_L·I_L = √3·690·15 = 17.93 kVA

有効電力

P = S·cos φ = 17.93·0.75 = 13.45 kW

答え

P = 13.45 kW

10.三相電力

答え: C_ph = 179.1 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 50·tan(acos 0.7) = 50·1.02 = 51.01 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0.9) = 50·0.4843 = 24.22 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 26.79 kvar

1 相あたりの静電容量

Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 8931/(314.2·398.4²) = 179.1 µF

答え

C_ph = 179.1 µF

11.RC・RL 過渡現象

答え: W = 444.1 mJ

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 150 mH / 5 Ω = 30 ms

i(∞) = V_s/R = 15/5 = 3 A

指定時刻の電流

i(t) = 3·(1 − e^−50/30) = 2.433 A

蓄積エネルギー

W = ½·L·i² = ½·150·2.433² = 444.1 mJ

答え

W = 444.1 mJ

12.RC・RL 過渡現象

答え: v_C = 10.19 V

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 10 kΩ · 100 µF = 1000 ms

v_C(t) = 5 + (12 − 5)·e^−t/τ

指定時刻の電圧

v_C(300) = 5 + (7)·e^−300/1000 = 10.19 V

答え

v_C = 10.19 V

13.テブナン・ノートン

答え: R_th = 9.818 Ω

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 2·20/(2+20) = 1.818 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.818 + 8 = 9.818 Ω

14.テブナン・ノートン

答え: I_L = 2.038 A

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 2·15/(2+15) = 1.765 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.765 + 30 = 31.76 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 15.88 + 2.5·1.765 = 20.29 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 20.29 + 2.5·30 = 95.29 V

負荷をテブナン等価回路につなぐ

テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 95.29/(31.76 + 15) = 2.038 A

15.ボード線図と余裕

答え: |G(jω)| = 11.2 dB

周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ω_c = 1/(RC) または R/L、f_c = ω_c/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)、φ = −atan(ω/ω_c) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jω_c)。位相交差周波数 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。

大きさを掛ける

|G(j10)| = 456/(√(10² + 4²)·√(10² + 6²)) = 456/(10.77·11.66) = 3.63

結果

20·log₁₀(3.63) = 11.2 dB

答え

|G(jω)| = 11.2 dB

16.ボード線図と余裕

答え: ω₁₈₀ = 5.477 rad/s

位相交差

(ω/3)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(3·10) = 5.477 rad/s

答え

ω₁₈₀ = 5.477 rad/s

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電気回路 II：交流回路：直前対策パック

1公式と解法

複素数

解き方

交流インピーダンスとフェーザ

解き方

交流電力と力率

LC 共振、Q 値、帯域幅

解き方

三相電力

RC・RL 過渡現象

解き方

テブナン・ノートン

解き方

2演習問題

3溶液

成分

直交形式

答え

共役な対

2 次式でくくり出す

実数の解

答え

リアクタンス

インピーダンス

位相角

答え

リアクタンス

インピーダンス

電流

コンデンサの電圧

答え

有効電力からの抵抗

答え

改善前後の無効電力

新しい皮相電力

新しい力率

答え

rad/s での帯域幅

Hz での帯域幅

答え

帯域幅から求めるインダクタンス

共振周波数から求める静電容量

答え

皮相電力

有効電力

答え

改善前後の無効電力

コンデンサが供給する無効電力

1 相あたりの静電容量

答え

時定数と最終電流

指定時刻の電流

蓄積エネルギー

答え

初期値、最終値、時定数

指定時刻の電圧

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

負荷をテブナン等価回路につなぐ

大きさを掛ける

結果

答え

位相交差

答え

すべての電源を止めて R_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める