電気回路 II：交流回路：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

交流電力と力率

有効電力: P = V·I·cos φ
無効電力: Q = V·I·sin φ
皮相電力: S = V·I = √(P² + Q²)
力率: pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC 共振、Q 値、帯域幅

固有振動数: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
エネルギー: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
ピーク電流: I_max = V₀√(C/L)
Q 値: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC 直列: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC 並列: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
帯域幅: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
半電力周波数: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
コイル抵抗 r をもつタンク回路: R_D = L/(C·r) = Q²·r
振幅の減衰: e^−Rt/(2L)

解き方

まず共振周波数を求めます：ω₀ = 1/√(LC)、f₀ = ω₀/(2π)。
回路が直列か並列かを判断します：直列は Q = (1/R)√(L/C)、並列は Q = R√(C/L)。
帯域幅は BW = f₀/Q で求めるか、近道の公式 R/(2πL)（直列）、1/(2πRC)（並列）を使います。
エネルギーの問題では、理想的な LC 回路の全エネルギー ½CV₀² が一定で、4 分の 1 周期ごとに C と L の間を行き来することを使います。

三相電力

Y 結線: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 結線: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
全有効電力: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
皮相電力と無効電力: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧: Δ：V_L Y：V_L/√3
モーターの入力: P_in = P_out/η

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

2演習問題

1.複素数ふつう

z₁ = 3∠40°、z₂ = 3∠45° のとき、w = z₁·z₂ の虚部を求めてください。

z₁ = 3∠40°z₂ = 3∠45°

Im(w) =

2.複素数むずかしい

n = 5、w = 32∠120° のとき、zⁿ = w の解は z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)、k = 0, 1, …, 4 です。z₀ の虚部を求めてください。

w = 32∠120°n = 5k = 0

Im(z₀) =

3.交流インピーダンスとフェーザふつう

C = 1 µF の直列 RLC 回路を 2000 Hz で共振させなければならない。必要なインダクタンス L を求めよ。

f₀ = 2000 HzC = 1 µF

L = mH

4.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 10 V（実効値）、1000 Hz の電源に接続する。コンデンサの両端電圧の実効値 V_C を求めよ。

V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 10 µF

V_C = V

5.交流電力と力率ふつう

単相モーターが 230 V の電源から、遅れ力率 0.7 で 21 kW を消費する。線電流 I を求めよ。

P = 21 kWpf = 0.7V = 230 V

I = A

6.交流電力と力率むずかしい

単相負荷が 230 V、50 Hz の電源から遅れ力率 0.8 で 25 kW を消費する。並列にコンデンサをつないで力率を 0.9 に改善する。コンデンサが供給すべき無効電力 Q_C を求めよ。

P = 25 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.9V = 230 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.LC 共振、Q 値、帯域幅ふつう

RLC 直列回路で R = 1 Ω、L = 47 µH、C = 22 nF です。帯域幅 BW を kHz で求めなさい。

R = 1 ΩL = 47 µHC = 22 nF

BW = kHz

8.LC 共振、Q 値、帯域幅むずかしい

充電した 4.7 nF のコンデンサが、全直列抵抗 5 Ω の 2.2 mH のコイルを通して放電するので、振動はゆっくり減衰します。振幅は e^−Rt/(2L) に従って減衰します。振幅が半分になるまでに、振動は何周期 n 起こりますか。（損失は小さいので、周波数は f₀ とします。）

L = 2.2 mHC = 4.7 nFR = 5 Ω

n =

9.三相電力ふつう

平衡三相負荷が、線間電圧 208 V の電源から線電流 12 A を流している。力率は遅れ 0.8 である。負荷が消費する全有効電力 P を kW で求めよ。

V_L = 208 VI_L = 12 Acos φ = 0.8

P = kW

10.三相電力むずかしい

平衡三相負荷が、415 V（線間）、60 Hz の電源から遅れ力率 0.65 で 200 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。コンデンサは Y 結線である。各コンデンサの静電容量 C_ph を µF で求めよ。

P = 200 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.95V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC・RL 過渡現象ふつう

コイルには 3 A の定常電流が流れている。t = 0 にスイッチが R を通るループを閉じ、電源が切り離されるので、コイルの電流は R を通して減衰する。 t = 5 ms での R の両端電圧 v_R を求めよ。

i(0) = 3 AR = 100 ΩL = 220 mHt = 5 ms

v_R = V

12.RC・RL 過渡現象むずかしい

R₂ の両端のスイッチは長い間開いていたので、コイルの電流は定常である。t = 0 にスイッチが閉じて R₂ を短絡する。 t = 0 からどれだけ後に、コイルの電流は 1.022 A に達するか。t を求めよ。

V_s = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 22 ΩL = 68 mH

t = ms

13.テブナン・ノートンふつう

端子 a–b から見たテブナン電圧 V_th を求めよ。

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 Ω

V_th = V

14.テブナン・ノートンむずかしい

a–b 間に負荷 R_L = 25 Ω を接続する。テブナン等価回路を使って、負荷で消費される電力 P_L を求めよ。

V₁ = 5 VI_s = 2 AR₁ = 2 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 25 ΩR_L = 25 Ω

P_L = W

15.ボード線図と余裕ふつう

図の RC ローパスフィルタは R = 22 kΩ, C = 4.7 nF です。380 Hz の正弦波入力が加えられます。 v_in に対する v_out の位相のずれ φ を度で求めよ。

R = 22 kΩC = 4.7 nFf = 380 Hz

φ = °

16.ボード線図と余裕むずかしい

ユニティフィードバック系の開ループ伝達関数は L(s) = K/(s(s + 3)(s + 5)) である。ゲイン余裕が 3 dB となるゲイン K を求めよ。

L(s) = K/(s(s + 3)(s + 5))GM = 3 dB

K =

3溶液

1.複素数

答え: Im(w) = 8.966

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

w の絶対値と偏角

|w| = 3 · 3 = 9

θ = 40° + 45° = 85°

直交形式

Re(w) = 9·cos(85°) = 0.7844

Im(w) = 9·sin(85°) = 8.966

Im(w) = 8.966

答え

Im(w) = 8.966

2.複素数

答え: Im(z₀) = 0.8135

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

解の絶対値

32^1/5 = 2

解の偏角

θ₀ = (120° + 360°·0)/5 = 24°

直交形式

z₀ = 2·(cos 24° + j sin 24°) = 1.827 + j0.8135

Im(z₀) = 0.8135

答え

Im(z₀) = 0.8135

5 個の解は、半径 2 の円周上に 72° ずつ離れて並びます。

3.交流インピーダンスとフェーザ

答え: L = 6.333 mH

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

共振条件

共振時には誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが打ち消し合います：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·1·10⁻⁶) = 6.333 mH

答え

L = 6.333 mH

4.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_C = 0.2586 V

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.1 = 628.3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15.92 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (612.4)²) = 615.3 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 10/615.3 = 0.01625 A

コンデンサの電圧

V_C = I·X_C = 0.01625·15.92 = 0.2586 V

答え

V_C = 0.2586 V

5.交流電力と力率

答え: I = 130.4 A

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

線電流

仕事をするのは有効分だけなので、力率で割ります。

I = P/(V·cos φ) = 21000/(230·0.7) = 130.4 A

答え

I = 130.4 A

6.交流電力と力率

答え: Q_C = 6.642 kvar

改善前後の無効電力

有効電力 P は変わらず、電源から取る無効電力だけが変わります。

Q₁ = P·tan φ₁ = 25·tan(36.87°) = 18.75 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 25·tan(25.84°) = 12.11 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 6.642 kvar

答え

Q_C = 6.642 kvar

7.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: BW = 3.386 kHz

Q 値と帯域幅：共振回路では Q = 2π·（蓄えられたエネルギー）/（1 周期に失われるエネルギー）です。RLC 直列では Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)、RLC 並列では Q = R/(ω₀L) = R√(C/L) です。半電力周波数 f₁ と f₂（電力が半分になり、電流または電圧がピークの 1/√2 になる周波数）の間の帯域幅は BW = f₂ − f₁ = f₀/Q で、直列では R/(2πL)、並列では 1/(2πRC) です。共振周波数は幾何平均 f₀ = √(f₁f₂) で、f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) です。損失は振動の減衰ももたらします：RLC 直列では振幅は e^−Rt/(2L) に従って減ります。

rad/s での帯域幅

R/L = 1/4.7 × 10⁻⁵ = 21277 rad/s

Hz での帯域幅

BW = 21277/(2π) = 3386 Hz = 3.386 kHz

答え

BW = 3.386 kHz

f₀ = 156.5 kHz なので、Q = 46.22 となります。

8.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: n = 30.19

振幅の半減期

t = 2·0.0022·ln 2/5 = 0.00061 s

周期数

n = t·f₀ = 0.00061·49495 = 30.19

答え

n = 30.19

近道：Q = 136.8 を使って n = Q·ln 2/π。

9.三相電力

答え: P = 3.459 kW

皮相電力

S = √3·V_L·I_L = √3·208·12 = 4.323 kVA

有効電力

P = S·cos φ = 4.323·0.8 = 3.459 kW

答え

P = 3.459 kW

10.三相電力

答え: C_ph = 2589 µF

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、V_L = √3·V_ph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、I_L = √3·I_ph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。3 個のコンデンサはそれぞれ Q_C/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは V_L、Y バンクでは V_L/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q₁ = 200·tan(acos 0.65) = 200·1.169 = 233.8 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0.95) = 200·0.3287 = 65.74 kvar

コンデンサが供給する無効電力

Q_C = Q₁ − Q₂ = 168.1 kvar

1 相あたりの静電容量

Y バンクでは、各コンデンサは線と中性点の間に接続されています。

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 56030/(377·239.6²) = 2589 µF

答え

C_ph = 2589 µF

11.RC・RL 過渡現象

答え: v_R = 30.91 V

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数

τ = L/R = 220 mH / 100 Ω = 2.2 ms

電流の減衰

i(t) = 3·e^−5/2.2 = 0.3091 A

v_R = R·i = 100·0.3091 = 30.91 V

答え

v_R = 30.91 V

12.RC・RL 過渡現象

答え: t = 6.944 ms

初期値、最終値、時定数

t = 0 より前は両方の抵抗がループにありますが、その後は閉じたスイッチが R₂ を短絡します。

i(0) = 10/(5 + 22) = 0.3704 A

i(∞) = 10/5 = 2 A

τ = L/R = 68/5 = 13.6 ms

i(t) = 2 + (0.3704 − 2)·e^−t/τ

時間について解く

e^−t/τ = (1.022 − 2)/(0.3704 − 2) = 0.6001

t = 13.6·ln(1.666) = 6.944 ms

答え

t = 6.944 ms

13.テブナン・ノートン

答え: V_th = 4.615 V

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 3·10/(3+10) = 2.308 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.308 + 20 = 22.31 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·10/(3+10) = 4.615 V

14.テブナン・ノートン

答え: P_L = 31.73 W

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 2·30/(2+30) = 1.875 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.875 + 25 = 26.88 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4.688 + 2·1.875 = 8.438 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 8.438 + 2·25 = 58.44 V

負荷をテブナン等価回路につなぐ

テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 58.44/(26.88 + 25) = 1.127 A

P_L = I_L²·R_L = 1.127²·25 = 31.73 W

15.ボード線図と余裕

答え: φ = −13.87 °

周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ω_c = 1/(RC) または R/L、f_c = ω_c/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)、φ = −atan(ω/ω_c) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jω_c)。位相交差周波数 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。

カットオフ周波数

ω_c = 1/(RC) = 1/(22000·4.7 × 10⁻⁹) = 9671 rad/s

f_c = 1539 Hz → f/f_c = 380/1539 = 0.2469

位相

φ = − atan(0.2469) = −13.87°

答え

φ = −13.87°

16.ボード線図と余裕

答え: K = 84.95

位相交差

(ω/3)·(ω/5) = 1 → ω₁₈₀ = √(3·5) = 3.873 rad/s

位相交差での大きさ

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 9)·√(ω² + 25)) = K/(3·5·(3 + 5)) = K/120

必要なゲイン

120/K = 10^3/20 = 1.413

K = 120/1.413 = 84.95

答え

K = 84.95

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電気回路 II：交流回路：直前対策パック

1公式と解法

複素数

解き方

交流インピーダンスとフェーザ

解き方

交流電力と力率

LC 共振、Q 値、帯域幅

解き方

三相電力

RC・RL 過渡現象

解き方

テブナン・ノートン

解き方

2演習問題

3溶液

w の絶対値と偏角

直交形式

答え

解の絶対値

解の偏角

直交形式

答え

共振条件

答え

リアクタンス

インピーダンス

電流

コンデンサの電圧

答え

線電流

答え

改善前後の無効電力

答え

rad/s での帯域幅

Hz での帯域幅

答え

振幅の半減期

周期数

答え

皮相電力

有効電力

答え

改善前後の無効電力

コンデンサが供給する無効電力

1 相あたりの静電容量

答え

時定数

電流の減衰

答え

初期値、最終値、時定数

時間について解く

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

負荷をテブナン等価回路につなぐ

カットオフ周波数

位相

答え

位相交差

位相交差での大きさ

必要なゲイン

答え

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める