電気回路 II：交流回路：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

複素数

直交形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
割り算
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

  1. 演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
  2. 展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
  3. 変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
  4. 冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

交流電力と力率

有効電力
P = V·I·cos φ
無効電力
Q = V·I·sin φ
皮相電力
S = V·I = √(P² + Q²)
力率
pf = cos φ = P/S
力率改善用コンデンサ
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 共振、Q 値、帯域幅

固有振動数
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
エネルギー
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
ピーク電流
Imax = V0√(C/L)
Q 値
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC 直列
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC 並列
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
帯域幅
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半電力周波数
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
コイル抵抗 r をもつタンク回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅の減衰
e−Rt/(2L)

解き方

  1. まず共振周波数を求めます：ω₀ = 1/√(LC)、f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 回路が直列か並列かを判断します：直列は Q = (1/R)√(L/C)、並列は Q = R√(C/L)。
  3. 帯域幅は BW = f₀/Q で求めるか、近道の公式 R/(2πL)（直列）、1/(2πRC)（並列）を使います。
  4. エネルギーの問題では、理想的な LC 回路の全エネルギー ½CV₀² が一定で、4 分の 1 周期ごとに C と L の間を行き来することを使います。

三相電力

Y 結線
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 結線
VL = Vph, IL = √3·Iph
全有効電力
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
皮相電力と無効電力
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
力率改善用コンデンサ
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
各コンデンサにかかる電圧
Δ：VL Y：VL/√3
モーターの入力
Pin = Pout/η

RC・RL 過渡現象

時定数
τ = RC | τ = L/R
応答
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流でのコンデンサ
開放；vC は急変しない
直流でのインダクタ
短絡；iL は急変しない
定常値
t ≈ 5τ

解き方

  1. 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
  2. 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
  3. 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。

テブナン・ノートン

テブナン電圧
Vth = Vopen circuit
テブナン抵抗
Rth：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流
IN = Vth/Rth
負荷電流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大電力伝送
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

解き方

  1. 負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
  2. a と b の間の開放電圧を求めます：これが Vth です。
  3. 独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが Rth です。
  4. 負荷を等価回路に戻します：Vth と Rth の直列です。
  5. ノートン等価回路には変換します：IN = Vth/Rth、RN = Rth を並列に接続します。

2演習問題

1.複素数ふつう
ReIm0.50.5−0.5−0.511−1−1θz

z = 1 + j を指数形式 r·ejθ で表してください。θ をラジアンで、−π から π の間で答えてください。

z = 1 + j
θ = rad
2.複素数むずかしい
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂

z³ − 11z² + 49z − 75 = 0 の解の 1 つは z₁ = 4 + j3 です。係数は実数です。実数の解 r を求めてください。

z₁ = 4 + j3
r =
3.交流インピーダンスとフェーザふつう
120 V100 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 100 µFI

直列 RLC 回路を 120 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 100 µF
I = A
4.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
24 Vf0​R = 20 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF

直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 24 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 VL を求めよ。

V = 24 V (rms)R = 20 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF
VL = V
5.交流電力と力率ふつう
120 VR + jXP = 1440 W15 A

誘導性負荷が 120 V（実効値）の単相電源から 15 A と 1440 W を消費する。これを抵抗 R とリアクタンス X の直列回路としてモデル化する。 X を求めよ。

V = 120 VI = 15 AP = 1440 W
X = Ω
6.交流電力と力率むずかしい
P1​ = 82 kWQ1​S1​φ

150 kVA の単相変圧器が、遅れ力率 0.75 で 82 kW の負荷に電力を供給している。変圧器が kVA 定格に達するまでに、抵抗負荷（力率 1）としてあとどれだけの有効電力 ΔP を追加できるか。

Smax = 150 kVAP1 = 82 kWpf1 = 0.75
ΔP = kW
7.LC 共振、Q 値、帯域幅ふつう
tvC​iL​T/4 = ?T/2TL = 2.2 mHC = 1 µF

理想的な LC 回路で L = 2.2 mH、C = 1 µF とし、t = 0 でコンデンサが満充電されています。エネルギーがすべてインダクタに移るまでにどれだけかかりますか。t を µs で答えなさい。

L = 2.2 mHC = 1 µF
t = µs
8.LC 共振、Q 値、帯域幅むずかしい
V20 ΩLC = ?

全抵抗 20 Ω、共振周波数 455 kHz、帯域幅 45.5 kHz の RLC 直列フィルタを設計します。静電容量 C を nF で求めなさい。

R = 20 Ωf0 = 455 kHzBW = 45.5 kHz
C = nF
9.三相電力ふつう
ABCVL​ = 690 VIL​ = ?M30 kW, η = 95%cos φ = 0.8

三相誘導電動機が全負荷で 30 kW の機械出力を出している。この負荷での効率は 95%、力率は遅れ 0.8 である。電源の線間電圧は 690 V である。線電流 IL を求めよ。

Pout = 30 kWη = 95%cos φ = 0.8VL = 690 V
IL = A
10.三相電力むずかしい
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

平衡三相負荷が、400 V（線間）、50 Hz の電源から遅れ力率 0.72 で 80 kW を消費している。負荷と並列に三相コンデンサバンクを接続し、全体の力率を遅れ 0.95 に改善する。有効電力は変わらない。 コンデンサバンクが供給すべき全無効電力 QC を kvar で求めよ。

P = 80 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
11.RC・RL 過渡現象ふつう
+−Vs​12 Vt = 0R = 33 ΩL220 mHi(t)

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 スイッチを閉じてからどれだけ後に、電流が最終値の 90% に達するか。t を求めよ。

Vs = 12 VR = 33 ΩL = 220 mH
t = ms
12.RC・RL 過渡現象むずかしい
+−Vs​5 Vt = 0R = 10 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 3 V

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 3 V に充電されている。 t = 400 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。

Vs = 5 VR = 10 kΩC = 100 µFvC(0) = 3 Vt = 400 ms
vC = V
13.テブナン・ノートンふつう
R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩARL​2 ΩIL​B

a–b 間に負荷 RL = 2 Ω を接続する。回路の残りをテブナン等価回路に置き換え、負荷電流 IL を求めよ。

V1 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 10 ΩR3 = 20 ΩRL = 2 Ω
IL = A
14.テブナン・ノートンむずかしい
R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​5 VR2​12 ΩAIs​4 ABRL​8 ΩIL​

a–b 間に負荷 RL = 8 Ω を接続する。回路の残りをテブナン等価回路に置き換え、負荷電流 IL を求めよ。

V1 = 5 VIs = 4 AR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 ΩRL = 8 Ω
IL = A
15.ボード線図と余裕ふつう
vin​R = 1000 ΩL = 100 mHvout​

図の RL ハイパスフィルタ は R = 1000 Ω, L = 100 mH です。6.4 kHz の正弦波入力が加えられます。 vin に対する vout の位相のずれ φ を度で求めよ。

R = 1000 ΩL = 100 mHf = 6.4 kHz
φ = °
16.ボード線図と余裕むずかしい
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

ユニティフィードバック系の開ループ伝達関数は L(s) = K/(s(s + 1)(s + 8)) である。 ゲイン余裕が 3 dB となるゲイン K を求めよ。

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 8))GM = 3 dB
K =

3溶液

1.複素数

答え: θ = 0.7854 rad

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

絶対値

r = √(1 + 1) = 1.414

ラジアンでの偏角

θ = 45° = 45·π/180 = 0.7854 rad

指数形式

z = 1.414·ej0.7854

答え

θ = 0.7854 rad
2.複素数

答え: r = 3

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

共役な対

z₂ = 4 − j3
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·4·z + (4² + 3²) = z² − 8z + 25

2 次式でくくり出す

z³ − 11z² + 49z − 75 = (z² − 8z + 25)(z − 3)

実数の解

r = 3

答え

r = 3

解の和で確かめましょう：z₁ + z₂ + r = 8 + 3 = 11 = −(−11)。

3.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 1.576 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.1 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (46.92)²) = 76.17 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 120/76.17 = 1.576 A

答え

I = 1.576 A
4.交流インピーダンスとフェーザ

答え: VL = 123.8 V

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

共振

共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·4.7·10⁻⁶) = 2063 rad/s
I = V/R = 24/20 = 1.2 A

コイルの両端の電圧

XL = ω₀L = 2063·0.05 = 103.1 Ω
VL = I·XL = 1.2·103.1 = 123.8 V

答え

VL = 123.8 V

これは電源電圧の Q = 5.157 倍です。

5.交流電力と力率

答え: X = 4.8 Ω

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

有効電力からの抵抗

R = P/I² = 1440/15² = 6.4 Ω

インピーダンスからのリアクタンス

|Z| = V/I = 120/15 = 8 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(8² − 6.4²) = 4.8 Ω

答え

X = 4.8 Ω
6.交流電力と力率

答え: ΔP = 49.42 kW

交流電力：皮相電力 S = V·I (VA) は、有効な仕事をする有効電力 P = S·cos φ (W) と、電源と負荷の間を行き来する無効電力 Q = S·sin φ (var) に分かれます。力率は cos φ です。並列コンデンサは無効電力をその場で供給するので、同じ有効電力でも線電流が減ります。

既存の負荷の無効電力

Q1 = 82·tan(arccos 0.75) = 72.32 kvar

最大の全有効電力

定格いっぱいでは S = Smax で、Q は抵抗負荷によって変わりません。

P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 72.32²) = 131.4 kW

追加できる有効電力

ΔP = 131.4 − 82 = 49.42 kW

答え

ΔP = 49.42 kW
7.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: t = 73.68 µs

LC 共振：充電したコンデンサをインダクタにつなぐと、電流が流れて逆向きに充電されます：エネルギーは、固有周波数 f0 = 1/(2π√(LC)) で C の電界（½Cv²）と L の磁界（½Li²）の間を行き来します。抵抗がなければ全エネルギー ½CV0² は一定なので、ピーク電流は Imax = V0√(C/L) です。1 周期は T = 1/f0 で、エネルギーはその 4 分の 1 の時間で C から L に移ります。

周期

T = 2π√(0.0022·1 × 10⁻⁶) = 294.7 µs

4 分の 1 周期

t = T/4 = 73.68 µs

答え

t = 73.68 µs
8.LC 共振、Q 値、帯域幅

答え: C = 1.749 nF

Q 値と帯域幅：共振回路では Q = 2π·（蓄えられたエネルギー）/（1 周期に失われるエネルギー）です。RLC 直列では Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)、RLC 並列では Q = R/(ω0L) = R√(C/L) です。半電力周波数 f1 と f2（電力が半分になり、電流または電圧がピークの 1/√2 になる周波数）の間の帯域幅は BW = f2 − f1 = f0/Q で、直列では R/(2πL)、並列では 1/(2πRC) です。共振周波数は幾何平均 f0 = √(f1f2) で、f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) です。損失は振動の減衰ももたらします：RLC 直列では振幅は e−Rt/(2L) に従って減ります。

帯域幅から求めるインダクタンス

L = R/(2π·BW) = 20/(2π·45500) = 6.996 × 10⁻⁵ H

共振周波数から求める静電容量

C = 1/((2π·455000)²·6.996 × 10⁻⁵) = 1.749 × 10⁻⁹ F = 1.749 nF

答え

C = 1.749 nF

Q = f₀/BW = 10。

9.三相電力

答え: IL = 33.03 A

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

電気入力

Pin = Pout/η = 30/0.95 = 31.58 kW

線電流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 31579/(√3·690·0.8) = 33.03 A

答え

IL = 33.03 A
10.三相電力

答え: QC = 50.81 kvar

平衡三相回路：Y（星形）結線では線間電圧は相電圧の √3 倍、VL = √3·Vph で、線電流は相電流に等しくなります。Δ（三角）結線では線間電圧は相電圧に等しく、線電流は相電流の √3 倍、IL = √3·Iph です。全電力は 1 相分の電力の 3 倍です：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 力率改善：コンデンサは無効電力をその場で供給します：QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。3 個のコンデンサはそれぞれ QC/3 = V²·ω·C を供給します。V はそのコンデンサにかかる電圧で、Δ バンクでは VL、Y バンクでは VL/√3 です。

改善前後の無効電力

有効電力は変わらないので、それぞれの力率から無効電力が決まります：Q = P·tan φ。

Q1 = 80·tan(acos 0.72) = 80·0.9639 = 77.11 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.95) = 80·0.3287 = 26.29 kvar

コンデンサが供給する無効電力

QC = Q1 − Q2 = 50.81 kvar

答え

QC = 50.81 kvar
11.RC・RL 過渡現象

答え: t = 15.35 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 220 mH / 33 Ω = 6.667 ms
i(∞) = Vs/R = 12/33 = 0.3636 A

時間について解く

0.9 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)
t = −6.667·ln(0.1) = 15.35 ms

答え

t = 15.35 ms
12.RC・RL 過渡現象

答え: vC = 3.659 V

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

vC(0) = 3 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 10 kΩ · 100 µF = 1000 ms
vC(t) = 5 + (3 − 5)·e−t/τ

指定時刻の電圧

vC(400) = 5 + (−2)·e−400/1000 = 3.659 V

答え

vC = 3.659 V
13.テブナン・ノートン

答え: IL = 0.5556 A

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。

R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω短絡R2​10 ΩAabRth​

すべての電源を止めて Rth を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R1 ∥ R2 = 10·10/(10+10) = 5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5 + 20 = 25 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩAab+−Vth​

開放電圧 Vth を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·10/(10+10) = 15 V
Rth​ = 25 Ω+−Vth​15 VRL​2 ΩIL​

負荷をテブナン等価回路につなぐ

テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。

IL = Vth/(Rth + RL) = 15/(25 + 2) = 0.5556 A
14.テブナン・ノートン

答え: IL = 2.167 A

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。

R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω短絡R2​12 ΩA開放BabRth​

すべての電源を止めて Rth を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R1 ∥ R2 = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.529 + 4 = 7.529 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​5 VR2​12 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

開放電圧 Vth を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3.529 + 4·3.529 = 17.65 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 17.65 + 4·4 = 33.65 V
Rth​ = 7.529 Ω+−Vth​33.65 VRL​8 ΩIL​

負荷をテブナン等価回路につなぐ

テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。

IL = Vth/(Rth + RL) = 33.65/(7.529 + 8) = 2.167 A
15.ボード線図と余裕

答え: φ = 13.97 °

周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ωc = 1/(RC) または R/L、fc = ωc/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)、φ = −atan(ω/ωc) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jωc)。位相交差周波数 ω180：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。

カットオフ周波数

ωc = R/L = 1000/0.1 = 10000 rad/s
fc = 1592 Hz → f/fc = 6400/1592 = 4.021

位相

φ = 90° − atan(4.021) = 13.97°

答え

φ = 13.97°
16.ボード線図と余裕

答え: K = 50.97

周波数応答：伝達関数に s = jω を代入します。デシベルでの大きさは 20·log₁₀|H(jω)|、位相は分子の因子の角の和から分母の因子の角を引いたものです。1 次の RC または RL フィルタのカットオフ（−3 dB）周波数は ωc = 1/(RC) または R/L、fc = ωc/(2π) で、ローパスフィルタでは |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)、φ = −atan(ω/ωc) です。漸近的な（直線近似の）ボード線図では、各極はそのコーナー周波数で大きさを 20 dB/decade ずつ下向きに折り曲げ、各零点は 20 dB/decade ずつ上向きに折り曲げ、積分器 1/s はすべての周波数で −20 dB/decade を与えます。ゲイン交差周波数 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）、位相余裕 PM = 180° + ∠L(jωc)。位相交差周波数 ω180：∠L(jω) = −180°、ゲイン余裕 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。両方の余裕が正のとき、閉ループは安定です。

位相交差

(ω/1)·(ω/8) = 1 → ω180 = √(1·8) = 2.828 rad/s

位相交差での大きさ

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 64)) = K/(1·8·(1 + 8)) = K/72

必要なゲイン

72/K = 103/20 = 1.413
K = 72/1.413 = 50.97

答え

K = 50.97

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2